לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חתכי דדקינד
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=שדה הממשיים= ==הגדרת המספרים הממשיים== *הגדרה: <math>\mathbb{R}</math> הוא קבוצת כל חתכי דדקינד. ==שדה הממשיים הוא סדר סדור== *נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל. ===הוכחה=== ====תכונות השדה==== *סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך *חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים. *אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים. *נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים *נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל *הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל *פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים ====תכונות שדה סדור==== *איזוטוניות ביחס לסכום: **יהיו חתכים A,B,C כך ש<math>A\leq B</math> צ"ל כי <math>A+C\leq B+C</math> **נתון כי <math>A\subseteq B</math> צ"ל כי <math>A+C\subseteq B+C</math> **יהי <math>a+c\in A+C</math>, לכן <math>a\in B</math> ולכן <math>a+c\in B+C</math>. *יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math> **ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים ***יהי <math>0<ac\in AC</math> כאשר <math>0<a,c</math>. ***כיוון ש <math>A\subseteq B</math> נובע כי <math>a\in B</math> ולכן <math>ac\in BC</math>. **כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים) ***לפי הגדרת הכפל <math>AC=-((-A)C)</math> הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי <math>BC</math> *לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים *ראשית נוכיח טענת עזר: <math>A\leq B</math> אם ורק אם <math>-A\geq -B</math> ** בכיוון אחד, נתון כי <math>A\leq B</math> ורוצים להוכיח כי <math>-A\geq -B</math> ***יהי <math>x\in -B</math>, כלומר קיים חסם <math>m\not\in B</math> כך ש <math>x<m</math> ***כיוון ש<math>A\leq B</math> נובע כי <math>m\not\in A</math> ולכן <math>x\in -A</math> **בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי <math>-(-A)=A</math> *כעת נחזור להוכחה: *מהנתון נובע כי <math>-A\geq -B</math> *כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש <math>(-A)C\geq (-B)C</math> *לכן <math>-((-A)C)\leq -((-B)C)</math> *כלומר הוכחנו <math>AC\leq BC</math> ==שלמות הממשיים== *תהי <math>\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}</math> קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים <math>M\in\mathbb{R}</math> כך ש<math>\forall a\in A:a\leq M</math>. אזי קיים ל<math>A</math> חסם עליון ממשי. ===הוכחה=== * נסמן ב<math>S</math> את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל<math>A</math>, כלומר <math>S=\cup_{x\in A} x</math> *נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד. **<math>S</math> אינה ריקה ***<math>A</math> אינה ריקה, ולכן קיים <math>x\in A</math>. ***כיוון ש<math>x</math> חתך דדקינד הוא אינו ריק. ***<math>x\subseteq S</math> ולכן <math>S</math> אינה ריקה **<math>S</math> חסומה: ***כיוון ש<math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\leq M</math> ***לפי יחס הסדר מתקיים כי <math>x\subseteq M</math>. ***כיוון שלכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\subseteq M</math> נובע כי גם <math>S\subseteq M</math>. ***לכן <math>S</math> חסומה מלעיל. **נוכיח כי <math>x\in S</math> אם ורק אם <math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>S</math> ***אם <math>x\in S</math> אזי <math>x\in D\in A</math> ***אם <math>x</math> חסם מלעיל של <math>S</math> אזי הוא בפרט חסם מלעיל של <math>D</math> בסתירה. ***מצד שני, אם <math>m</math> חסם מלעיל של <math>S</math> הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי <math>A</math> ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי <math>A</math> ולכן אינו שייך ל<math>S</math> *ברור כי לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>x\leq S</math> כיוון ש<math>x\subseteq S</math> (כל קבוצה מוכלת באיחוד). *נוכיח כי <math>S</math> הוא החסם העליון של <math>A</math>. *נב"ש כי קיים <math>T</math> חסם מלעיל של <math>A</math> כך ש <math>T<S</math>. *לכן קיים <math>x\in S\setminus T</math>. *לכן קיים <math>D\in A</math> כך ש <math>x\in D</math>. *לכן <math>D\not\subseteq T</math> בסתירה לכך ש<math>T</math> חסם מלעיל של <math>A</math> ==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים== *ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית. *נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר. **אם <math>a_n</math> היא סדרת הספרות ו<math>k</math> הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות: **<math>\sup \{10^k \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{10^i}|n\in\mathbb{N} \}</math> *דוגמא פשוטה: *עבור הסדרה הקבועה <math>a_n =9</math>, ומיקום הנקודה העשרונית <math>k=0</math> נקבל את הייצוג העשרוני <math>0.999...</math> *לפי ההגדרה לעיל יוצא כי: **<math>0.999...=\sup \{0,0.9,0.99,0.999,...\}</math> *קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1. *1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה *לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1. *מסקנה: <math>1=0.999...</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)