לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=המטריצה הנילוות (המצורפת)= '''הגדרה''' תהי <math>A\in F^{n\times n}</math>, המטריצה נילווית שלה היא המטריצה <math>adj(A)_{i,j}=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}</math>. (שימו לב להחלפה בין <math>i</math> ו<math>j</math>!) דוגמא? ===המשפט המרכזי=== <math>A(adjA)=(adjA)A=|A|I</math> תוצאה: אם <math>A</math> הפיכה אז <math>A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}</math>. ===תרגיל=== תהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה. 1. הוכח כי <math>|adjA|=|A|^{n-1}</math>. 2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את <math>adj \left( adjA \right)</math>. 3. מצאו את <math>adj \left( adjA \right)</math> גם במקרה שהמטריצה אינה הפיכה. פתרון 1. ראשית נניח כי <math>|A|\neq 0</math>, אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: <math>|AadjA|=||A|I|</math> ונקבל <math>|A||adjA|=|A|^n</math> נחלק בדטרמיננטה ואז <math>|adjA|=|A|^{n-1}</math> כדרוש. כעת נניח <math>|A|=0</math> וצריך להוכיח כי <math>|adjA|=0</math>. לפי המשפט <math>(adjA)A=|A|I=0</math> אם <math>A=0</math> אז ברור ש <math>adjA=0</math> לפי ההגדרה. אחרת, יש איזשהי עמודה של <math>A</math>שהיא לא אפס, <math>C_k(A)</math>. ואז <math>adjA\cdot C_k(A)=0</math> מה שאומר ש<math>adjA</math> לא הפיכה ואז <math>|adjA|=0</math>. 2. נשתמש במשפט עבור המטריצה <math>B=adjA</math>, אזי <math>(adjA)\cdot (adj(adjA)=|adjA|I</math>. ולפי הסעיף הקודם נקבל ש<math>adj(adjA)=adjA^{-1}|A|^{n-1}</math>. ומכיוון ו<math>adjA^{-1}=\frac{A}{|A|}</math> אז <math>adj(adjA)=A|A|^{n-2}</math>. 3. רמז: לתשובה של סעיף זה ולסעיף הקודם יש קשר הדוק. ===תרגיל=== תהי <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math>המקיימת <math>(A+I)^2=0</math>. א. הוכיחו כי <math>A</math>הפיכה. ב. הביעו את <math>adjA</math>באמצעות <math>A,I,|A|</math> בלבד. ''פתרון:'' א. נפתח ונקבל <math>(A+I)^2 =A^2+AI+IA+I^2=A^2+2A+I</math> נעביר אגפים ונקבל <math>A(-1)(A+2I)=I</math> ולכן <math>A</math>הפיכה. ב.לפי המשפט <math>adjA=|A| A^{-1}</math> ולכן בעצם נשאר למצוא ביטוי ל<math>A^{-1}</math>. לפי הסעיף הקודם <math>A^{-1}=-A-2I</math> ולכן <math>adjA=(-A-2I)|A|</math>. ===תרגיל=== יהיו A,B ריבועיות (מגודל <math>n\times n</math>ׂ. הוכיחו כי <math>adj(AB)=adj(B)adj(A)</math> פתרון: מקרה 1: גם A וגם B הפיכות: מקרה פשוט - מוזמנים להוכיח בעזרת המשפט <math>A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I</math> מקרה 2: A או B מדרגה קטנה שווה ל <math>n-2</math>: גם מקרה פשוט לאור העובדה שעבור מטריצה A שדרגתה קטנה שווה ל <math>n-2</math> מתקיים כי <math>adj(A)=0</math> ובנוסף <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math> מקרה 3 - אחרת: יהיו i,j נתונים. השתכנעו כי ניתן להגדיר מטריצה <math>A'</math> כך שהיא זהה ל A פרט אולי לשורה i ומטריצה <math>B'</math> שזהה למטריצה B פרט אולי לעמודה j המקיימות כי: או ש <math>A'</math> וגם <math>B'</math> הפיכות או ש <math>A'</math> או<math>B'</math> מדרגה קטנה שווה ל <math>n-2</math>. בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי <math>adj(A'B')=adj(B')adj(A')</math>. סיום ההוכחה נובע מכך ש: *<math>M_{i,j}(A'B')=M_{i,j}(AB)</math> *<math>R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))</math> ולכן המיקום <math>j,i</math> שווה בשני האגפים. ===תרגיל=== תהי <math>A\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math> ונתון שהיא הפיכה ב<math>\mathbb{R}^{n\times n}</math> (כלומר שיש מטריצה ''ממשית'' <math>B</math> כך ש <math>AB=BA=I</math>). הוכיחו כי היא הפיכה ב<math>\mathbb{Q}^{n\times n}</math>. '''פתרון:''' מכיוון שמטריצה הפיכה היא יחידה, לא יתכן שב<math>\mathbb{Q}^{n\times n}</math> יש מטריצה הופכית אחרת. כך שבעצם יש להראות ש<math>A^{-1}</math> הממשית היא בעצם עם איברים ב<math>\mathbb{Q}</math>. לפי המשפט <math>A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}</math>. <math>|A|\in \mathbb{Q}</math> כי הדטרמיננטה זה סכומים של מכפלות של איברי <math>A</math> שהם רציונליים. <math>adjA\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math> כי האיברים הם <math>(-1)^{i+j}|M_{ji}|</math> שהם גם רציונלים (כמו קודם). סה"כ קיבלנו <math>A^{-1}\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math>. '''פתרון בלי לערב adj סתם:''' נתון ש- <math>|A|\neq 0</math> וכיון ש- <math>|A|\in \mathbb{Q}</math> (דטרמיננטה מתקבלת ממכפלות של איברי המטריצה (עד כדי מינוס אחד) שהינם רציונאליים) אז היא הפיכה גם מעל הרציונאליים. ==דטרמיננטות של העתקות לינאריות== [[צריך???]] '''טענה''' אם <math>A</math>מטריצה ריבועית ו<math>P</math>מטריצה הפיכה, אזי <math>|A|=|PAP^{-1}|</math>. (הוכחה: <math>|PAP^{-1}|=|P||A||P|^{-1}=|A||P||P|^{-1}=|A|</math>). ראינו בעבר שאם <math>A,B</math> הן מטריצות מייצגות של אותה העתקה לינארית <math>T \colon V \rightarrow V</math>אזי יש מטריצה הפיכה <math>P</math>(למעשה מטריצת מעבר בסיסים) כך ש<math>B=PAP^{-1}</math>. לאור הטענה הקודמת רואים שלא משנה איך נחשב את המטריצה המייצגת, הדטרמיננטה תישאר אותו דבר. ולכן אפשר להגדיר... '''הגדרה''' הדטרמיננטה של העתקה לינארית <math>T\colon V\rightarrow V</math>היא הדטרמיננטה של מטריצה מייצגת (כלשהי). '''טענה שימושית''' העתקה <math>T\colon V\rightarrow V</math>היא הפיכה אם"ם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. '''עוד טענה שימושית''' תהיינה <math>T,S \colon V \rightarrow V</math> הע"ל. אזי <math>|T\circ S|=|T||S|</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)