לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== הקדמה מתמטית === בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>. * '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר: ::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>. ::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>. ::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>. ::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>. * '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>. * '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>. * הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים. * מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית. * '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>. * הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1. * '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>. * הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1. * '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>. * הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב. * '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>. * '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>. * ''תכונות של קומוטטורים:'' ** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>. ** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>. * אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי. * יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן. * אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות). * לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>. * '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט. * '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט. * '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי. * '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי. * <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>. * '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0. * <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)