לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חדוא 1 - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 2 - סדרות== ===הגדרת הגבול=== *הגדרת הגבול של סדרה: *תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>. *<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם: **לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר: **לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> <videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash> *נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math> *נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math> *טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math> *טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math> <videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash> *אם <math>a_n\to L_1</math> וכן <math>a_n\to L_2</math> אזי <math>L_1=L_2</math> <videoflash>YE52OP_xPDA</videoflash> *סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה. <videoflash>CZnYbF1Lm7k</videoflash> *<math>a_n\to L \iff a_{n+1}\to L</math> *בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה. <videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash> *תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math> ===שאיפה לאפס=== *תהי סדרה <math>a_n</math> ויהי <math>L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n\to L</math> אם ורק אם <math>|a_n-L|\to 0</math> **בפרט <math>a_n\to 0</math> אם ורק אם <math>|a_n|\to 0</math> *תהי <math>a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math> *תהיינה <math>a_n,b_n\to 0</math> אזי גם <math>a_n+b_n\to 0</math> <videoflash>3QSMzWlG-yI</videoflash> ===משפטי סנדביץ'=== *משפט הסנדביץ' - **תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n \leq c_n</math> **כמו כן, יהי <math>L\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a_n,c_n\to L</math> **אזי <math>b_n\to L</math> *חצי סנדביץ'- **תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>a_n\leq b_n</math> **כמו כן נתון כי <math>a_n\to\infty</math> **אזי <math>b_n\to \infty</math> *חצי סנדביץ' על הרצפה - **תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי <math>|a_n|\leq b_n</math> **כמו כן נתון כי <math>b_n\to 0</math> **אזי <math>a_n\to 0</math> <videoflash>AVvOiLm5COA</videoflash> ===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)=== *תהיינה <math>b_n\to L_b\in \mathbb{R}</math>, <math>a_n\to L_a\in \mathbb{R}</math> אזי **<math>a_n+b_n\to L_a+L_b</math> **<math>a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b</math> **אם <math>L_b\neq 0</math> אזי <math>\frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}</math> <videoflash>Hf14pSb3zDM</videoflash> ===אינדוקציה=== *משפט האינדוקציה המתמטית *תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים: **הטענה הראשונה נכונה. **לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת. *אזי כל הטענות בסדרה נכונות *אי שיוויון ברנולי: יהי <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(1+x)^n\geq 1+nx</math> <videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash> ===חזקת אינסוף=== *תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי: **אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math> **אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math> *שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף. <videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash> ===כלל המנה=== *כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]). **תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי: ***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math> ***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math> ***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math> *דוגמאות: **<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math> **<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math> **עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math> **<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math> <videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash> ===חזקות של גבולות=== *יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math> **רעיון הוכחה: אם <math>a\geq 1</math> אזי <math>a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}}</math> והרי <math>\sqrt[m]{a}\to 1</math> לפי כלל המנה *יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to L\in \mathbb{R}</math> אזי <math>a^{b_n}\to a^L</math> **רעיון הוכחה: <math>a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L</math> *תהי <math>a_n\to 1</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 1</math> **רעיון הוכחה:<math>a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1}</math> לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם <math>a_n<1</math> אי השיוויון הפוך). *תהי <math>a_n\to a>0</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to a^L</math> **רעיון הוכחה: <math>a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L</math> *תהי <math>0\leq a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n\to L>0</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 0</math> **רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math> ===סדרות מונוטוניות והמספר e=== *כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי. *דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math> **כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה. **אם הסדרה חסומה: ***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math> ***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math> ***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math> ***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math> ***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה. **מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math> <videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash> *[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]). <videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash> *<math>2<e<4</math>. <videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash> ===תתי סדרות וגבולות חלקיים=== ====הגדרת גבול חלקי==== *לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math> *שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים. *לדוגמא: **נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> **אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math> *נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math> *טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי: **<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math> <videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash> ====משפט בולצאנו-ויירשטראס==== *לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. *משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת. <videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash> ====גבול עליון וגבול תחתון==== *תהי סדרה <math>a_n</math> *נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup): **אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math> **אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה **אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math> *נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf): **אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math> **אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה **אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math> *לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי: *<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math> <videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash> *הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון). <videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash> *לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math> <videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash> ====תתי סדרות המכסות סדרה==== *אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה. *ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה. <videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash> ===כלל הe=== *תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math> <videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash> *אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math> **<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>. **<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל. **שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס. *דוגמא: **<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math> <videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash> ===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)=== *אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק): **חסומה כפול אפיסה = אפיסה **חסומה חלקי אינסוף = אפיסה **<math>\infty+\infty=\infty</math> **<math>\infty\cdot\infty=\infty</math> **<math>\infty^\infty=\infty</math> **<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math> **<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math> **<math>0^\infty = 0</math> **אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף. **יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי. **אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף. **אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף **סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף. **סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס. ====המקרים הבעייתיים==== *המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול: **<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math> ===קריטריון קושי לסדרות=== *דוגמא: הסדרה <math>a_n=\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף. *הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם: *לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון). *משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי. *תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי. <videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)