לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חתכי דדקינד
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==שדה הממשיים הוא סדר סדור== *נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל. ===הוכחה=== ====תכונות השדה==== *סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך *חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים. *אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים. *נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים *נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל *הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל *פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים ====תכונות שדה סדור==== *איזוטוניות ביחס לסכום: **יהיו חתכים A,B,C כך ש<math>A\leq B</math> צ"ל כי <math>A+C\leq B+C</math> **נתון כי <math>A\subseteq B</math> צ"ל כי <math>A+C\subseteq B+C</math> **יהי <math>a+c\in A+C</math>, לכן <math>a\in B</math> ולכן <math>a+c\in B+C</math>. *יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math> **ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים ***יהי <math>0<ac\in AC</math> כאשר <math>0<a,c</math>. ***כיוון ש <math>A\subseteq B</math> נובע כי <math>a\in B</math> ולכן <math>ac\in BC</math>. **כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים) ***לפי הגדרת הכפל <math>AC=-((-A)C)</math> הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי <math>BC</math> *לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים *ראשית נוכיח טענת עזר: <math>A\leq B</math> אם ורק אם <math>-A\geq -B</math> ** בכיוון אחד, נתון כי <math>A\leq B</math> ורוצים להוכיח כי <math>-A\geq -B</math> ***יהי <math>x\in -B</math>, כלומר קיים חסם <math>m\not\in B</math> כך ש <math>x<m</math> ***כיוון ש<math>A\leq B</math> נובע כי <math>m\not\in A</math> ולכן <math>x\in -A</math> **בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי <math>-(-A)=A</math> *כעת נחזור להוכחה: *מהנתון נובע כי <math>-A\geq -B</math> *כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש <math>(-A)C\geq (-B)C</math> *לכן <math>-((-A)C)\leq -((-B)C)</math> *כלומר הוכחנו <math>AC\leq BC</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)