לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== מד״ר לא מדויקת == תהי <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> מד״ר שאינה מדויקת, ונרצה לפתור אותה ע״י ''גורמי אינטגרציה'': ננסה להכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>\mu(x,y)</math> ולקבל מד״ר מדויקת <math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math>. לשם כך <math>\mu</math> צריכה לקיים <math>\frac{\partial(\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial(\mu Q)}{\partial x}</math>, ובאופן שקול <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}P-\frac{\partial\mu}{\partial x}Q=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mu</math> (נשים לב שזו מד״ח). === מקרה 1 === <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. לכן <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}</math> מתאפס ומכאן נובע (כאשר <math>a:=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math>) ש־ {{left|<math>\begin{align}&\frac{\partial\mu}{\partial x}=a\mu\\\implies&\frac{\mathrm d\mu}\mu=a\mathrm dx\\\implies&\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}\end{align}</math>}} נשים לב ש־<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. === מקרה 2 === <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>y</math>. זה מתקיים אם״ם <math>b:=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>. ==== תרגיל ==== פתרו את המד״ר <math>\underbrace{\left(1-x^2y\right)}_P\mathrm dx+\underbrace{x^2(y-x)}_Q\mathrm dy=0</math>. ===== פתרון ===== מתקיים <math>\frac{\partial P}{\partial y}=-x^2\ne\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy-3x^2</math>, כלומר המד״ר אינה מדויקת. נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q=-\frac2x</math>, כלומר תלויה אך ורק ב־<math>x</math>, ולכן נגדיר <math>\mu=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int-\frac2x\mathrm dx}=\mathrm e^{-2\ln|x|}=-\frac1{x^2}</math>. נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>-\mu</math> ונקבל <math>\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx+(y-x)\mathrm dy=0</math>. המד״ר החדשה מקיימת <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-1</math>, ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל: מתקיים <math>U=\int\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx=-\frac1x-xy+c_y(y)</math> וגם <math>y-x=\frac{\partial U}{\partial y}=-x+c_y'(y)</math>. אזי <math>c_y'(y)=y\implies c_y(y)=\frac{y^2}2+c</math>, ולבסוף הפתרון הוא <math>U=-\frac1x-xy+\frac{y^2}2+c=0</math>. {{משל}} ''הערה:'' נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P=\frac{2xy-2x^2}{1-x^2y}</math> תלויה גם ב־<math>x</math> וגם ב־<math>y</math>, ולכן הגדרת <math>\mu</math> התלויה ב־<math>y</math> לא תועיל לנו.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)