לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== פיזיקה === * '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים. * '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה לריבוע המקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת). * '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>. * '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''. ** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>. * '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>. * אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות. * בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות. * '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>. * מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>. * <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>. * '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>. * '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>. * <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>. * אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>. * צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>. * מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>. * מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>. * '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>. * '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>. * אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי. * '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע. *אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>. * <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>. * '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>. * '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>. * '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים. * <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>. * '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>. * '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>. * ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:'' ** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>. ** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>. ** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>. <!-- ** <math>L_zL_\pm|l,m\rangle=(\lambda\pm1)L_\pm|l,m\rangle</math> ** <math>L^2L_\pm|l,m\rangle=\mu_lL_\pm|l,m\rangle</math>. ** <math>L_\pm|l,m\rangle=c_{lm}^\pm|l,m\pm1\rangle</math> עבור קבועים <math>c_{lm}^+,c_{lm}^-</math>. ** <math>c_{l(m+1)}^-=(c_{lm}^+)^*</math> -->
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)