לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0=\aleph_0</math> === '''הגדרה''' * העוצמה של הטבעיים מסומנת <math>\aleph_0</math> * קבוצה A המקיימת <math>|A|\leq \aleph_0 </math> נקראת '''בת מנייה''' (מקור השם כי ניתן למנות/ למספר את האיברים בה ע"י התאמה חח"ע ועל מהטבעיים במקרה האין סופי או במקרה הסופי פשוט למספר עד n ) טענה <math>B=\{2n-1 | n\in \mathbb{N}\}</math> קבוצת האי זוגיים היא בת מנייה הוכחה : נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{N}\to B </math> ע"י <math>n\mapsto 2n-1</math> טענה <math>C=\mathbb{N}\cup\{0\}</math> קבוצת הטבעיים עם <math>0</math> בת מנייה הוכחה : נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{N}\to C </math> ע"י <math>n\mapsto n-1</math> טענה <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0=\aleph_0</math> הוכחה: נגדיר <math>f:B\times C\to \mathbb{N}</math> ע"י <math>(x,k)\mapsto x\cdot 2^k</math> טענה: f חח"ע הוכחה נניח <math>f(x_1,k_1)=f(x_2,k_2)</math> אזי <math>x_1 \cdot 2^{k_1} =x_2 \cdot 2^{k_2}</math> בה"כ <math>k_1\leq k_2</math> ונחלק את שני האגפים ב <math>2^{k_1}</math> נקבל כי<math>x_1 =x_2 \cdot 2^{k_2-k_1}</math>. כעת צד שמאל לא מתחלק ב 2 (כי <math>x_1</math> אי זוגי) ולכן גם אגף ימין לא מתחלק ב -2. הדבר יכול לקרות רק אם <math>k_2-k_1=0</math> או במילים אחרות <math>k_1=k_2</math>. כעת קיבלנו גם כי <math>x_1=x_2</math> ולכן בס"ה <math>(x_1,k_1)=(x_2,k_2)</math>. טענה: f על הוכחה: יהא n טבעי. יהיה <math>k\in C</math> כך ש <math>2^k</math> מחלק את n ואילו <math>2^{k+1}</math> אינו מחלק את n. כלומר החזקה הגדולה ביותר של 2 בפירוק של n למכפלת ראשונים זרים. מהגדרת k נובע כי <math>\frac{n}{2^k}</math> אי זוגי (כי אחרת הוא זוגי ואז 2 מחלק את המספר ואז <math>2^{k+1}</math> מחלק את n. סתירה). לפי הגדרת f רואים כי <math>(\frac{n}{2^k},k)</math> מקור ל n. וסיימנו. ==== תרגיל ==== הוכיחו כי לכל <math>0<n</math> טבעי מתקיים כי <math>\mathbb{N}^n=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times \cdots \times \mathbb{N} </math> מעוצמה <math>\aleph_0</math> פתרון: באינדוקציה. בסיס: ברור. צעד: <math>|\mathbb{N}^{n+1}=|\mathbb{N}^n\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}|</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)