לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 8
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל=== תהיינה <math>a<b</math> עוצמות אינסופיות, ותהי קבוצה B כך ש <math>|B|=b</math> א. הוכח כי קיימת ל-B תת קבוצה A מעוצמה a ב. הוכח כי B היא איחוד זר של קבוצות אשר כל אחת מהן מעוצמה a. ====פתרון==== א. מההגדרה של השוואת עוצמות, קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה בעוצמת a אל תוך B. התמונה של פונקציה זו הינה תת קבוצה A בתוך B מעוצמה a. סעיף ב. נוכיח במספר דרכים: ===== לפי הלמה של צורן ===== נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם) תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של B מעוצמה a. ט: <math>X:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> הינו חסם מלעיל של השרשרת. ה: לכל 2 תתי קבוצות של B ששיכות ל X קיים <math>i\in I</math> כך ששתי תתי הקבוצות שיכות ל <math>B_i</math> ולכן זרות. בנוסף כל תת קבוצה של B ששיכת ל X שייכת ל <math>B_i</math> כלשהוא ולכן מעוצמה a. לפי הלמה של צורן קיים אוסף מקס' S אם <math>\bigcup S=B</math> אז סיימנו אחרת <math>D:=B/\bigcup S</math> לא ריקה. אם העוצמה של D גדולה שווה מ a אזי יש לה תת קבוצה מעוצמה a שנוכל לצרף ל S וזה יהיה סתירה למקס' של S. אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מהקבוצות ב<math>S</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם שווה B. ===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף ===== נגדיר <math>\mathcal{O}</math> קבוצת כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> עם הכלה מתקיים כי <math>\{\{A\}\}</math> היא שרשרת כאשר A היא תת קבוצה של B מעוצמה a שקיימת לפי סעיף א. כעת לפי עקרון המקסימום, קיימת שרשרת C מקסימאלית. נגדיר <math>T=\cup_{T'\in C}T'</math> ט: <math>T\in \mathcal{O}</math> ה: יהיו <math>A_1,A_2\in T</math> אזי קיימות <math>T'_1,T'_2</math> כך ש <math>A_i\in T'_i</math> ומכיוון ש C שרשרת <math>T'_1\subseteq T'_2</math> או להיפך. נניח בה"כ כי <math>T'_1\subseteq T'_2</math> ולכן <math>A_1,A_2\in T'_2</math> ומכיוון ש <math>T'_2\in \mathcal{C}</math> נקבל כי <math>A_1,A_2</math> זרות ומעוצמה a כנדרש כעת נגדיר <math>B'=\cup_{A'\in T}A'</math> ונגדיר <math>\hat{B}=B\setminus B'</math> . אם <math>a<|\hat{B}|</math> אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>\hat{A}</math> מעוצמה a. לפי הגדרה <math>\hat{B}</math> מתקיים כי <math>\hat{A}</math> זרה לכל קבוצה ב T ולכן <math>T\cup \{\hat{A}\}\in \mathcal{O}</math> ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C. לכן <math>|\hat{B}|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\hat{B}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\hat{B}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>|\hat{B}|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)