לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== תורת היחסות הפרטית == * במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה. * המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>). * נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>. * '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי. * '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>. * עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>. * <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>. * <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>. * אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>. * נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math>. * '''פקטור לורנץ:''' <math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>. * <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>. * '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים. * נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> (השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>) ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math> ממהירות האור. * '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>. * '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום). * '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים. * '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה. * '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים: ::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>. ::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)