לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.7.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==דוגמה 9== נתון טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\arctan(x/\sqrt n)</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>. להראות שהטור מתכנס לפונקציה בעלת נגזרת רציפה. ===פתרון=== נעיר שבקטע <math>(-\infty,\infty)</math> הפונקציה <math>\arctan(y)</math> עולה מונוטונית מ-<math>-\pi/2</math> עד <math>\pi/2</math>. כעת אם <math>x>0</math> אז <math>\frac x\sqrt n</math> יורד עם n ולכן <math>\arctan(x/\sqrt n)</math> יורד עם n. לכן עבור <math>x>0</math> הטור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n</math> כאשר <math>a_n=\frac{arctan(x/\sqrt n)}\sqrt n</math> ו-<math>a_n</math> יורדת מונוטונית ל-0. ממבחן לייבניץ הטור מתכנס. עבור <math>x<0</math> הדיון דומה כי <math>\arctan</math> פונקציה אי-זוגית. הטור הגזור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}\sqrt n\frac1{1+(x/\sqrt n)^2}\frac1\sqrt n=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x^2}</math>. טענה: הטור הגזור מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math>. הוכחה: לכל <math>x\in\mathbb R</math> הטור טור לייבניץ ומתכנס, נניח ל-<math>g(x)</math>. לפי לייבניץ <math>\forall N\in\mathbb N:\ \left|g(x)-\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^n}{n+x^2}\right|\le\frac1{N+x^2}\le\frac1N\to\infty</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>. כיוון שההפרש המקסימלי בין <math>g(x)</math> לסכום החלקי שואף ל-0 נובע ממבחן ה-sup שהטור הגזור מתכנס במ"ש ל-g על <math>\mathbb R</math>. נובע ממשפט 10 בהתכנסות במ"ש של טורים שהטור המקורי מתכנס במ"ש לפונקציה f גזירה כך ש-<math>f'(x)=g(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n+x^2}</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>. הטור האחרון הוא סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש, לכן g רציפה ב-<math>\mathbb R</math>. ===משפט=== אם <math>f_1(x)\ge f_2(x)\ge f_3(x)\ge\dots\ge 0</math> ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math> במ"ש I אז <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^n f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I. (ההוכחה כמו בדוגמה הקודמת)
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)