לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== דוגמאות חשובות == * '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. ** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי. *** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.<br />נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>. * '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.<br />אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>. * '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח. * '''כוח חיכוך:''' :* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי. :* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי. :* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>. * '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>.<br />אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>. ** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה.<br />אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>. * '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר. * '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע. * '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות. * אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות. * '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>. * '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)