לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===המחלק המשותף הגדול ביותר=== *לכל שני מספרים טבעיים <math>k<n</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)</math> **נוכיח שכל מספר שמחלק את <math>n,k</math> מחלק גם את <math>n-k,k</math> וההפך, ולכן הגדול ביותר הוא אותו האחד. **אם <math>a</math> מחלק את <math>n,k</math> אזי <math>n=qa,k=ta</math>, לכן <math>n-k=(q-t)a</math>. **אם <math>a</math> מחלק את <math>n-k,k</math> אזי <math>n-k=qa,k=ta</math> ולכן <math>n=(q+t)a</math>. *לכל שני מספריים טבעיים <math>n,k</math> קיימים מספרים שלמים <math>a,b</math> כך ש <math>an+bk=gcd(n,k)</math> **עבור <math>n=k=1</math> מתקיים כי <math>1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1 = gcd(1,1)</math>. **נניח שהטענה נכונה לכל <math>n+k<m</math> נוכיח שהיא נכונה עבור <math>n+k=m</math>. **אם <math>n=k</math> אזי <math>1\cdot n + 0\cdot k = n =gcd(n,n)=gcd(n,k)</math>. **אחרת, אם <math>n>k</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)=a(n-k)+bk=an+(b-a)k</math>. **שימו לב שהנחת האינדוקציה התקיימה עבור הזוג <math>n-k,k</math>. *שני מספרים טבעיים n,k נקראים '''זרים''' אם <math>gcd(n,k)=1</math> *ב<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולת הכפל מודולו n האיברים ההפיכים הם בדיוק המספרים הזרים ל n. **נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> אינו זר לn, כלומר <math>gcd(n,k)=a>1</math>. ***לכן <math>n=qa,k=ta</math> לכן <math>qk=tn</math> ולכן <math>qk=0\in\mathbb{Z}_n</math> כלומר k מחלק אפס ואינו הפיך. **נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> זר לn כלומר <math>gcd(n,k)=1</math>. ***לכן קיימים שלמים כך ש <math>an+bk=1</math> לכן <math>b\cdot k \equiv 1 \mod n</math>. *עבור מספר טבעי <math>1<n</math> קבוצת המספרים הטבעיים הזרים לn וקטנים ממנו מהווה חבורה ביחס לכפל מודולו n, היא נקראית '''חבורת אוילר''' ומסומנת <math>U_n</math>. **הוכחה ש<math>U_n</math> חבורה: **סגירות: מכפלת הפיכים היא הפיכה. **אסוציאטיביות: נובע מהאסוציאטיביות של הכפל. **איבר נייטרלי: 1. **הפיכים: ברור מההגדרה. *<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולות חיבור וכפל מודולו n הוא שדה אם ורק אם n הינו מספר ראשוני. **אכן, כל המספרים החיוביים הקטנים מn הפיכים אם"ם כולם זרים לו אם"ם הוא ראשוני.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)