לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== טורי פורייה == * '''פונקציה רציפה למקוטעין''' היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע <math>[a,b]</math> יוצרות מרחב מכפלה פנימית <math>E[a,b]</math> עם <math>\langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math>. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא <math>\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle</math>. :* <math>E</math> הוא סימון מקוצר ל־<math>E[-\pi,\pi]</math>. * '''מערכת סגורה:''' נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור <math>\mathbf u</math> את התנאי <math>\lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>. * המערכות <math>\left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(q_nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(q_nx)\}_{n=1}^\infty</math> ו־<math>\left\{\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty</math> אורתונורמליות סגורות ב־<math>E[a,b]</math> לפי המכפלות הפנימיות <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> ו־<math>\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle</math> בהתאמה. * טור פורייה של <math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(q_nx)+b_n\sin(q_nx)\Big)</math> כאשר <math>\forall n\in\mathbb N\cup\{0\}:\ a_n:=\langle f,\cos(q_nx)\rangle\ \and\ \forall n\in\mathbb N:\ b_n:=\langle f,\sin(q_nx)\rangle</math>. :* אם <math>f</math> זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים. :* מתקיים <math>\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2</math>. * טור פורייה המרוכב של <math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> הוא <math>\sum_{n\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}</math> כאשר <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n:=\tfrac12\left\langle f,\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\rangle</math>. :* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>. * אם <math>f\in E[a,b]</math> ו־<math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של <math>f</math>, אזי <math>\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0</math>. * <math>E'[a,b]</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E[a,b]</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־<math>[a,b]</math> למעט, אולי, בקצות הקטע. * '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'(\mathbb R)</math> אינטגרבילית בהחלט ב־<math>[a,b]</math> ובעלת מחזור <math>b-a</math>. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־<math>[a,b]</math> מתכנס ל־<math>f</math>. :* אם <math>f\in E'[c,d]</math> אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־<math>\mathbb R</math>. :* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)\over2</math>. ::* '''תופעת גיבס:''' נניח שבנוסף <math>f'\in E[a,b]</math> ו־<math>x_0</math> נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של <math>f</math> כך ש־<math>a<x_0<b</math>. כמו כן, <math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה של <math>f</math>. אזי קיימת סדרת נקודות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>x_n\to x_0\ \and\ \forall n:\ x_n>x_0</math> וכן <math>\lim_{N\to\infty}\frac{S_N(x_N)-f(x_N)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)-\lim_{x\to x_0^-}f(x)}\approx0.0895\dots</math>, וזו השגיאה המקסימלית. * '''למת רימן–לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה). * '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}</math>. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־<math>(-\pi,\pi)</math> שווה ל־<math>\pi</math>. * אם <math>f\in E'[a,b]</math> רציפה ב־<math>[a,b]</math> ו־<math>f(a)=f(b)</math> אז טור פורייה של <math>f</math> יתכנס אליה במ״ש על הקטע. * '''שוויון פרסבל:''' אם <math>f\in E[a,b]</math> אזי <math>\|f\|^2=q\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(|a_n|^2+|b_n|^2\Big)</math> ו־<math>\frac{\|f\|^2}2=\frac q2\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\sum_{n\to-\infty}^\infty |c_n|^2</math>. :* '''שוויון פרסבל המוכלל:''' אם <math>f,g\in E[a,b]</math> אזי <math>\langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=\frac{a_0\overline{c_0}}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\overline{c_n}+b_n\overline{d_n}\Big)</math> כאשר <math>g(x)\sim\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(c_n\cos(q_nx)+d_n\sin(q_nx)\Big)</math>. * אם <math>f</math> רציפה ב־<math>[a,b]</math>, <math>f(a)=f(b)</math> ו־<math>f'\in E[a,b]</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> גזיר איבר־איבר ומתקיים <math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(q_n b_n\cos(q_nx)-q_n a_n\sin(q_nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm iq_nc_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}</math>. * אם <math>f\in E[a,b]</math> אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל <math>x\in[a,b]</math> ולכל <math>m\in[a,b)</math> מתקיים{{left|<math>\begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}(\sin(q_nx)-\sin(q_nm))-\frac{b_n}{q_n}(\cos(q_nx)-\cos(q_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm iq_nx}-\mathrm e^{\mathrm iq_nm}\right)\end{align}</math>}}והטורים מתכנסים במ״ש. :* אם <math>F</math> קדומה ל־<math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> אזי <math>F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}\sin(q_nx)-\frac{b_n}{q_n}\cos(q_nx)\right)+\frac q2\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)