לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מספרים ברי בנייה
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== הגדרה ותכונות == קיימות מספר הגדרות שקולות למספרים ברי בנייה: * מספר ממשי חיובי <math>r\geq 0</math> נקרא בר בנייה אם, בהינתן קטע באורך 1, ניתן לבנות קטע באורך <math>r</math>. * מספר מרוכב <math>c=a+ib</math> (כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>) נקרא בר בנייה אם בהינתן הנקודות <math>(0,0),(0,1)</math> במישור <math>\mathbb{R}^2</math> ניתן לבנות את <math>(a,b)</math>. * מספר מרוכב <math>c=a+ib</math> (כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>) נקרא בר בנייה אם <math>|a|,|b|</math> ברי בנייה. '''תרגיל:''' הוכיחו ישירות ש-<math>\sqrt{2},\sqrt{5}</math> ברי בנייה. ניתן גיאומטרית שכל מספר רציונלי הוא בר בנייה. יותר מכך, לכל <math>a,b</math> ברי בנייה מתקיים שגם <math>ab,a+b,a-b,a/b,\sqrt{a}</math> ברי בנייה. לכן, אוסף המספרים ברי הבניה הוא תת שדה של <math>\mathbb{C}</math> ושדה זה סגור תחת הוצאת שורש ריבועי ותחת צמוד מרוכב. '''משפט:''' התנאים הבאים שקולים עבור <math>a\in \mathbb{C}</math>: :א. <math>a</math> בר בנייה. :ב. קיים ''מגדל שדות'' <math>\mathbb{Q}=L_0\subseteq L_1\subseteq\dots\subseteq L_r</math> כך ש-<math>a\in L_r</math> וגם <math>[L_i:L_{i=1}]=2</math> לכל <math>0<i\leq r</math>. :ג. קיימת הרחבת גלואה <math>L/\mathbb{Q}</math> כך ש-<math>a\in L</math> וגם <math>[L:\mathbb{Q}]</math> חזקת 2. :ד. סגור גלואה של <math>\mathbb{Q}[a]/\mathbb{Q}</math> הוא ממימד <math>2^n</math> מעל <math>\mathbb{Q}</math>. '''הערה:''' הדעות חלוקות לגבי מה הוכחתם בהרצאה. בטוח הוכחתם ש-א שקול ל-ב. בתרגילי הבית הוכחתם ש-ב שקול ל-ג. העובדה ש-ג שקול ל-ד היא תרגיל טריוויאלי למדי. '''הערה:''' מהמשפט נובע גם שכל מספר בר בנייה הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math>. לדוגמא, נובע ש-<math>\pi</math> אינו בר בנייה! '''דוגמא:''' <math>\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}</math> הוא בר בנייה כי <math>\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}]</math> הוא מגדל שדות המקיים את תנאי המשפט ב-ב. (כמובן שהרבה יותר קל להוכיח את זה עם העובדה שאוסף המספרים ברי הבנייה הוא שדה שסגור להוצאת שורש...)
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)