לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מרחב ניצב
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==תרגילים== ===משפט הפירוק הניצב=== יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math> ===0=== יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S\subseteq V</math>. '''הוכח/הפרך:''' <math>(S^\perp)^\perp=S</math> ===1=== יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות: א. <math>\{0\}^\perp=V</math> ב. <math>V^\perp = \{0\}</math> ג. אם <math>S_1\subseteq S_2\subseteq V</math> אזי <math>S_2^\perp\subseteq S_1^\perp</math> ד. לכל קבוצה <math>S\subseteq V</math> מתקיים <math>\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp</math> '''פתרון:''' א. <math>\{0\}^\perp = \{v\in V|<v,0>=0\}=V</math> ב. <math>V^\perp = \{w\in V|\forall v\in V:<w,v>=0\}</math> אם כך, נניח <math>w\in V^\perp</math>, כיוון <math>w\in V</math> מתקיים ביחד <math><w,w>=0</math> ולפי אי שליליות <math>w=0</math> לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math> ג. נניח <math>w\in S_2^\perp</math> לכן לכל <math>s\in S_2</math> מתקיים <math><s,w>=0</math>. לכן בפרט, לכל <math>s\in S_1</math> מתקיים <math>s\in S_2</math> ולכן <math><s,w>=0</math> ולכן <math>w\in S_1^\perp</math> ד. כיוון ש <math>S\subseteq span(S)</math>, לפי סעיף קודם ברור כי <math>span(S)^\perp \subseteq S^\perp</math>. כעת, אם <math>w\in S^\perp</math> אזי לכל צירוף לינארי <math>a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)</math> מתקיים ::<math><a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0</math> כלומר <math>w\in span(S)^\perp</math> ולכן גם <math>span(S)^\perp \supseteq S^\perp</math> ===2=== יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים. '''הוכיחו/הפריכו:''' א. <math>(U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp</math> ב.<math>(U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp</math> ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math> '''פתרון:''' א. '''הפרכה''': <math>U=\{0\},W=V</math> ב. '''הוכחה''': <math>\supseteq</math> נניח <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>. יהי <math>u+w\in U+W</math> לכן: ::<math><v,u+w>=<v,u>+<v,w>=0</math> כיוון ש <math>v\in U^\perp</math> וגם <math>v\in W^\perp</math> ולכן <math>v\in (U+W)^\perp</math> <math>\subseteq</math> נניח <math>v\in (U+W)^\perp</math>. יהי <math>u\in U</math> לכן בפרט <math>u\in U+W</math> ולכן <math><v,u>=0</math> לכן <math>v\in U^\perp</math> ובאופן דומה <math>v\in W^\perp</math> סה"כ <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math> ג. '''הפרכה''': <math>U=\{0\},W=V</math> ===3=== יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math> '''הפרכה:''' <math>U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\}</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)