לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==דוגמה== <math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac {x}{\sqrt x}\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-רציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>. f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1{\sqrt{x-\pi}}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-} \frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1{\sqrt\pi}\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)} {\pi-x}=\frac1{\sqrt\pi}\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1{\sqrt\pi}\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}{\sqrt{x-\pi}}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}} {{כותרת נושא|סדרות וטורים של פונקציות|נושא שני}} '''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע <math>I</math>. לכל <math>x_0\in I</math> נקבל סדרת מספרים <math>\{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty</math> ואפשר לדון ב-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. נגדיר את "תחום ההתכנסות" <math>J\subseteq I</math> של הסדרה כ-<math>J:=\left\{x\in I:\lim_{n\to\infty}f_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית" <math>f:J\to\mathbb R</math> כך ש-<math>f=\lim_{n\to\infty}f_n</math>. יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות: # סדרת פונקציות <math>\{f_n\}_{n=1}^\infty</math> היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math>, עם <math>x\in I</math> לכל סדרה. זהו מבט נקודתי. # סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי. '''הגדרה:''' נניח שיש לנו סדרת פונקציות <math>\{u_n\}_{n=1}^\infty</math> על I. אפשר לבנות טור <math>\sum_{n=1}^\infty u_n(x)</math> כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)</math> וה-<math>\{S_N\}_{N=1}^\infty</math> סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-<math>S_N</math>, לפי ההגדרה, <math>J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)