לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== הוכחה == '''<math>\Leftarrow</math>''' <math>A</math> לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של <math>A</math> נקרא לו <math>B=\{v_1,...v_n\}</math>. ברור שהפולינום המינימלי של <math>A</math> חייב להכיל את הגורמים האי פריקים <math>t-\lambda_i</math> לכל הע"ע של <math>A</math>. לכן אם הפולינום <math>p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> מקיים <math>p(A)=0</math> אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...) אנו יודעים שעבור כל <math>v_i</math> קיים <math>\lambda_j</math> כך ש<math>Av_i=\lambda_j v_i</math>. מה הערך של <math>(A-\lambda_r)v_i</math> עבור <math>r\neq j</math>? <math>(A-\lambda_r)v_i = \lambda_j v_i - \lambda_r v_i = (\lambda_j - \lambda_r)v_i</math> הבה נסתכל ב <math>p(A)v_i</math>: <math>p(A)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)\cdots(A-\lambda_kI)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)v_i=</math> <math>=(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)v_i</math> אבל <math>(A-\lambda_jI)v_i=0</math> ולכן <math>p(A)v_i=0</math> לכל <math>v_i \in B</math> <math>B</math> בסיס ולכן כל וקטור <math>v</math> ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי <math>B</math>: <math>v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i</math> ולכן <math>p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0</math> אם <math>p(A)\neq 0</math> אז קיימת לה עמודה <math>j</math> שונה מאפס, אזי <math>p(A)e_j=C_j(p(A))\neq 0</math>. אבל ראינו ש <math>\forall v \in V :p(A)v=0</math> ולכן <math>p(A)=0</math> ולכן <math>p=m_A</math>. '''<math>\Rightarrow</math>''' קודם כל הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום האופייני של <math>A</math>. <math>n_i</math> כלומר החזקה של הגורם <math>t-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של <math>A</math>. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של <math>A</math> הוא מגודל אחד. כלומר <math>A</math> לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל <math>1\times1</math> ).
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)