הצגת המקור של הדף "תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג"

== חוג השלמים של גאוס ==
האיברים ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]=\mathbb Z+\mathrm i\mathbb Z</math> נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר <math>u\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>u^{-1}\in\mathbb Z[\mathrm i]</math>) הם <math>\pm1,\pm\mathrm i</math>.
* אם <math>\alpha\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> ו־<math>u</math> יחידה אז <math>\alpha,u\alpha</math> נקראים דומים.
* נגדיר <math>N:\mathbb Z[\mathrm i]\to\mathbb Z</math> ע״י <math>N(a+b\mathrm i)=a^2+b^2=|a+b\mathrm i|^2</math>. היא כפלית (<math>N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)</math>) ו־<math>u</math> יחידה אם״ם <math>N(u)=1</math>.
* '''ראשוני של גאוס''' הוא שלם <math>\alpha</math> של גאוס שאינו יחידה ואם <math>\alpha=\beta\gamma</math> אז <math>\beta</math> או <math>\gamma</math> יחידות.
* אם <math>\alpha,\beta\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> כך ש־<math>\beta\ne0</math> אז יש <math>q,r\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>\alpha=\beta q+r</math> כך ש־<math>N(r)<N(\beta)</math>.
* '''משפט גאוס:''' ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]</math> קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים של גאוס.
* הראשוניים של גאוס מתחלקים לסוגים הבאים:
:* <math>1+\mathrm i</math>. הוא "קשור" ל־2 ע״י <math>2=-(1+\mathrm i)^2</math>.
:* לכל <math>p\equiv1\pmod4</math> יש פתרון ל־<math>x^2+y^2=p</math>. המספרים <math>x\pm\mathrm iy</math> הם ראשוניים לא דומים של גאוס.
:* כל <math>p\equiv3\pmod4</math> הוא גם ראשוני של גאוס.
* כל ראשוני של גאוס מחלק ראשוני טבעי כלשהו.
* אם <math>N(\alpha)\in\mathcal P</math> אז <math>\alpha</math> ראשוני של גאוס.