לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 4 תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=הכללות= ==הכללה פשוטה ראשונה== הכללה ישירה שבה יש שינוי רק בבסיס האינדוקציה: אם נוכיח עבור טענה <math>P(n)</math> כי: * הטענה מתקיימת עבור <math>n=k</math> מסוים. כלומר <math>P(k)</math> נכונה. * '''אם''' הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים, אז היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר <math>P(n)\rightarrow P(n+1)</math>. אז באופן דומה הטענה נכונה <math>P(n)</math> נכונה עבור <math>n\geq k</math>. כלומר - במקום להוכיח עבור <math>n=1</math> ואז הטענה מתקיימת החל מ-<math>1</math> ניתן להוכיח עבור <math>n=k</math> ואז הטענה מתקיים החל מ-<math>k</math>. '''דוגמה:''' הוכח כי לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>(1+x)^n > 1+nx</math> לכל <math>n\geq 2</math>. פתרון: עבור <math>n=2</math> נקבל <math>(1+x)^2 = 1+2x+x^2>1+2x</math> כי <math>x>0</math> . כעת נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n</math> כלשהו, כלומר מתקיים <math>(1+x)^n > 1+nx</math>. נוכיח עבור <math>n+1</math> מהנחת האינדוקציה נקבל כי <math>(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x)>(1+nx) (1+x)</math> <math>=1+nx +x+nx^2 > 1+x+nx =1+ (n+1)x</math> וסיימנו. ==הכללה פשוטה שנייה== הכללה שבה יש שינוי בצעד האינדוקציה, הנקראת אינדוקציה שלמה: אם נוכיח עבור טענה <math>P(n)</math> כי: * הטענה מתקיימת עבור <math>n=1</math>. כלומר <math>P(1)</math> נכונה. * '''אם''' הטענה נכונה עבור כל המספרים עד מספר טבעי מסוים <math>n</math> (כלומר מתקיים <math>P(m)</math> עבור <math>m\leq n</math>) אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו (כלומר <math>P(n+1)</math> מתקיים). אז באופן דומה הטענה נכונה <math>P(n)</math> נכונה עבור <math>n\geq 1</math>. כלומר - אפשר להחליף את ההנחה שמתקיים עבור <math>n</math> ולהוכיח עבור <math>n+1</math> בהנחה שמתקיים עבור כל מי ש'''קטן שווה''' <math>n</math> ולהוכיח עבור <math>n+1</math>. ====תרגיל (בד"כ נעשה בהרצאה)==== כל מספר טבעי <math>1<n </math> ניתן להציגו כמכפלה של מספרים ראשוניים. הוכחה: עבור <math>n=2</math> זה נכון כי 2 ראשוני ואז הוא הפירוק של עצמו. כעת נניח שהטענה נכונה לכל <math>1<k\leq n</math> ונוכיח עבור <math>n+1</math>. אם <math>n+1</math> ראשוני - סיימנו כי אז הוא הפירוק של עצמו. אחרת <math>n+1</math> מתפרק למכפלה <math>n+1=ab</math> כאשר <math>1<a,b<n+1</math> לפי הנחת האינדוקציה <math>a,b</math> מתפרקים למכפלה של מספרים ראשוניים <math>a=\prod_{k=1}^l p_k,b=\prod_{i=1}^r q_i</math> כאשר <math>p_k,q_i</math> ראשוניים. אזי <math>n+1=ab=\prod_{k=1}^l p_k\cdot \prod_{i=1}^r q_i</math> וסיימנו. ====תרגיל==== שאלת השוקולוד.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)