לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== מרחב השורות === תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה (למשל מכפלת מטריצות אלמנטריות שמדרגות את <math>A</math>). הוכח <math>R(A)=R(EA)</math>. הוכחה: (<math>\supseteq</math>) יהא <math>(EA)^{t}x\in R(EA)</math> אזי <math>(EA)^{t}x=A^{t}E^{t}x=A^{t}(E^{t}x)=A^{t}y\in R(A)</math>. (<math>\subseteq</math>) יהא <math>A^{t}x\in R(A)</math> אזי <math>A^{t}x=(E^{-1}EA)^{t}x= (EA)^tE^{-t}x = (EA)^ty \in R(EA)</math> מסקנה: בפרט אם <math>E</math> מכפלה של מטריצות אלמנטריות המעבירות את <math>A</math> לצורה מדורגת/קנונית אז נקבל כי מרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות של הצורה המדורגת/קנונית. תרגיל/דוגמא: תהא <math>A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right)</math> מצא את <math>R(A)</math>. פתרון: <math>\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)</math> . כיוון שמרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות לאחר דירוג נקבל ש <math> R(A)=span\{ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\}=\{\left(\begin{array}{c} a\\ 2a+b\\ 3a\\ 4a+b \end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\} </math> ==== יישום: השלמה לבסיס ==== ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת. כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס. דוגמא: השלם את <math> \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \} </math> לבסיס. נדרג <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} </math> ומכאן רואים כי <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו <math> \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} </math> נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)