לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)=== יהי S יחס על <math>\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> (קבוצת כל הפונקציות הממשיות), המוגדר על ידי <math>(f,g)\in S</math> אם"ם לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים <math>f(x)-g(x)\in\mathbb{Z}</math> :1. הוכיחו ש S הינו יחס שקילות :2. תהי <math>f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> מצאו את <math>|[f]|</math> :3. מצאו את <math>|\mathbb{R}^\mathbb{R}/S|</math> '''פתרון:''' 1. *רפלקסיביות: <math>\forall x\in\mathbb{R} f(x)-f(x)=0\in\mathbb{Z}</math> *סימטריות: <math>f(x)-g(x)\in\mathbb{Z}</math> גורר שגם <math>g(x)-f(x)\in\mathbb{Z}</math> כי יש נגדי לחיבור *טרנזיטיביות: נובעת בקלות מסגירות לחיבור בשלמים: <math>f-h=f-g+g-h</math> 2. עבור <math>[f]\in \mathbb{R}^\mathbb{R}/S </math> נגדיר <math>F:[f] \to \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math>. ע"י <math>F(g):=f-g </math> נראה כי היא מוגדרת,חח"ע ועל. מוגדרת: לפי ההגדרה של יחס השקילות אכן מתקיים <math>f-g\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math> נראה כי ל F קיימת הופכית. נגדיר <math>G: \mathbb{Z}^{\mathbb{R}} \to [f]</math>. ע"י <math>G(h):=f-h </math>. הפונקציה מוגדרת היטב כי <math>f-(f-h)\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math> וקל לוודא שזוהי ההופכית חח"ע: נניח <math>F(g)=F(h)</math> לכן <math>\forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x)</math> ולכן h=g. על: תהי h פונקציה כלשהי מהממשיים לשלמים, ברור ש(f-h) במחלקת השקילות של f והיא תהיה המקור. אם כך, העוצמה של מחלקת השקילות זהה לעוצמה של אוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים והוא <math>{\aleph_0}^\aleph</math>. לפי התכונות שלמדנו לעיל מתקיים <math>2^\aleph\leq{\aleph_0}^\aleph\leq 2^\aleph</math> ולכן לפי קנטור מתקיים <math>{\aleph_0}^\aleph=2^\aleph</math> 3. נזכור בסימון <math>\lfloor x\rfloor</math> שהוא המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה לx. נגדיר F פונקציה השולחת את <math>f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> לפונקציה <math>F(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R}</math>. נראה ש-F מוגדרת היטב (על קבוצת המנה)וההפעלה שלה על קבוצת המנה תהיה חח"ע ועל. מוגדרות: יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, <math>F(g)-F(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor</math>. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר שבערכו המוחלט קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפס כלומר <math>F(f)=F(g)</math>. לכן הפונקציה F מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום. חח"ע: נניח <math>F(f)=F(g)</math> אז <math>f-g=\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor</math> כיוון ש <math>\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor\in \mathbb{Z}^\mathbb{R} </math> אזי הם נציגים של אותה מחלקת שקילות כלומר <math>[f]=[g]</math> על: ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע <math>[0,1)</math>. קל לראות ש <math>F[r]=r</math> שכן <math>\lfloor r \rfloor = 0</math>. לכן r ישמש מקור ולכן F הינה על. סה"כ קיבלנו שעוצמת קבוצת המנה שווה ל<math>\aleph^\aleph</math> וזה שווה ל<math>2^\aleph</math> לפי התכונות לעיל.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)