לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== משפט הדרגה == תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. אזי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV</math> '''הערה''': שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> ומשפט <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math> (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל) === תרגיל === נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצא בסיס לגרעין העתקה. ====פתרון:==== <math>T</math> היא על כי לכל <math>a\in \mathbb{F}</math> יש מקור. למשל <math>a\cdot E_{1,1}</math>. לכן <math>\dim ImT= \dim \mathbb{F} =1</math> ממשפט הדרגה נסיק כי <math>\dim KerT=dimV-\dim ImT=n^2 -1</math> כעת לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>n^2-1</math> מטריצות בת"ל ששיכות לגרעין ואז הם יהיו בסיס. למשל המטריצות <math>\{E_{i.j} \; | \; i\neq j\} \cup \{E_{1,1}-E_{i,i} \; | \; 2\leq i \leq n\} </math> בקבוצה זאת יש אכן <math>(n^2-n)+(n-1)=n^2-1</math> מטריצות בת"ל === תרגיל === תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח שהבאים שקולים: 1. <math>KerT = KerT^2</math>. 2. <math>ImT^2 = ImT</math>. 3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>. ====פתרון:==== ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV=\dim ImT^2+\dim KerT^2</math> ולכן <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אמ"מ <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> אם <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>ImT^2 \subseteq ImT</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו) אם <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>KerT \subseteq KerT^2</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו) ולכן 1. ו 2. שקולים. נשאר להוכיח שקילות בין 1. ל 3. <math>3 \Leftarrow 1</math> נראה כי הסכום '''ישר''': יהא <math>v\in KerT\cap ImT </math> אזי <math>(\exists w: Tw=v)\land Tv=0</math> ואז <math>T^2w=Tv=0</math> ולכן <math>w\in KerT^2=KerT</math> ומכאן ש <math>v=Tw=0</math> כנדרש. '''סכום''': לפי משפט המימדים ומשפט הדרגה נקבל כי <math>\dim (KerT+ ImT)= \dim KerT + \dim ImT - \dim (KerT\cap ImT)=\dim KerT + \dim ImT= \dim V</math>. כיוון ש <math>KerT+ ImT\subseteq V</math> מאותו מימד נקבל שיוויון <math>3 \Rightarrow 1</math> מ"ל כי <math>KerT^2 \subseteq KerT</math>. יהא <math>v\in KerT^2</math> אזי מצד אחד <math>Tv\in KerT</math> ומצד שני (לפי הגדרה) <math>Tv\in ImT</math> לכן <math>Tv\in KerT\cap ImT=\{0\}</math> ולכן <math>Tv=0</math> כלומר <math>v\in KerT</math> כנדרש
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)