לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל ממבחן תשע מועד ב (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)=== א. תהי A קבוצה אינסופית מעוצמה a. :1. נגדיר עבור : <math>X=\{(X_1,...,X_n):1<n\in\mathbb{N}\and\Big[\bigcup_i X_i=A\Big] \and \Big[\forall i\neq j: X_i\cap X_j = \emptyset\Big] \and \big[ \forall i X_i \neq \emptyset\big]\}</math>. כלומר אוסף החלקות הסופיות הלא טרי' הסדורות של A '''הוכח''' <math>|X|=2^a</math> :2. מצא את <math>|\mathbb{N}\times X|,|\mathbb{N}\cup X|</math> וגם את <math>|X|^{|\mathbb{N}|},|\mathbb{N}|^{|X|}</math> ב.תהי <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> משפחה של קבוצות הזרות זו לזו. נסמן את עוצמת כל אחת מהן ב<math>a_i</math> בהתאמה. נגדיר <math>\sum_{i\in I} a_i = |\bigcup_{i\in I}A_i|</math>. חשב את <math>\sum_{n\in\mathbb{N}}\aleph</math> '''פתרון.''' א. :1. נביט באוסף הפונקציות <math>Y=\{f:A\rightarrow\mathbb{N}\}</math>. נגדיר <math>g:X\to Y</math> על ידי לכל <math>x=(X_1,...,X_n)\in X</math> נשלח אותו ל <math>g(x)=f_x</math> המוגדר <math>\forall a\in A :\; f_x(a)=k</math> כאשר <math>a\in X_k</math> כלומר שולחת איבר לאינדקס של הקבוצה שהוא נמצא בה בחלוקה. נוכיח שהפונקציה מוגדרת וחח"ע. מוגדרת: כיוון ש x הוא חלוקה של A אזי האיבר a יופיע ויופיע בדיוק באחת מהקבוצות. חח"ע: נניח <math>(X_1,...,X_n)=x\neq x'=(X'_1,...,X'_m)</math>. אזי קיים <math>X_i\not=X'_i</math>, לכן קיים יהיה <math>a\in X_i/X'_i</math> (או להיפך) ואז <math>i=f_x(a)\not= f_{x'}(a)</math> כלומר <math>g(x)\not=g(x') </math> דרך 2- נגדיר פונקציה <math>g:X\to P(A)^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>g((X_1,...,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases} </math> קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן <math> |X| \leq (2^{a})^{\aleph_0} = 2^{a\cdot \aleph_0} =2^a</math> דרך 3- נציג את X כאיחוד זר <math>X=\cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n</math> כאשר <math>Y_n</math> זה חלוקות סדורות של A עם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה <math>g:Y_n \to P(A)^n</math> המוגדרת <math>g((X_1,...,X_n))=X_1 \times \cdots \times X_n</math> קל לראות שהיא חח"ע ולכן <math>|Y_n|=|A|^n =|A|</math> ולכן <math>|X|\leq \sum_{1<n\in \mathbb {N}}|A|=|A|\cdot \aleph_0 =|A|</math> כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A ל-X - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה. לכן <math>2^{|A|} \leq |X| \leq |Y| = \aleph_0^{|A|}</math>, ולפי התכונות לעיל שני הקצוות שווים. לכן עוצמת X הינה <math>2^a</math>. :2. <math>|\mathbb{N}\cup X|=\aleph_0+2^a=2^a</math> <math>|\mathbb{N}\times X|=\aleph_0\cdot 2^a=2^a</math> <math>|X|^{|\mathbb{N}|}=(2^a)^{\aleph_0}=2^{a\cdot \aleph_0}=2^a</math> <math>|\mathbb{N}|^{|X|}=(\aleph_0)^{2^a}=2^{2^a}</math> ב. בעצם אנו רוצים לחשב איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמת <math>\aleph</math>. לכל עותק של <math>\aleph</math> נתאים <math>A_n</math> ופונקציה חח"ע ועל <math>f_n:\mathbb{R}\rightarrow A_n</math>. כעת נגדיר פונקציה <math>g:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\rightarrow\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n</math> ע"י <math>g(k,x)=f_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>f_k</math> חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש<math>f_k</math> על גם g על ולכן סה"כ עוצמת הסכום הינה <math>\aleph_0\cdot\aleph=\aleph</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)