לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות=== ====תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות===== יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>). יהיה <math>b\in \mathbb{F}^m</math> וקטור (פתרון). הוכח כי: 1. <math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math> 2. במקרה זה הפתרון <math>x</math> הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר <math>x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}</math> מתקיים <math>b=x_1v_1+...+x_nv_n</math> 3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה? =====פתרון===== 1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''. 3. אם המטריצה הפיכה אזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה. במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד שהוא <math>x=0</math>. כלומר צ"ל היחיד של עמודות <math>A</math> שמתאפס הוא הצ"ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל. בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)