לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== עוצמת הממשיים== '''תרגיל''' הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ואפשר כי <math>a=-\infty , b=\infty</math> הוכחה: קל לראות כי כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>[a,b]</math>. בעלי אותה עוצמה ע"י הפונקציה [[קובץ:EqveOfTowIntervals.jpeg]] '''הערה''': אפשר לעבור מכאן לק.ש.ב. ולא צריך את כל הפונקציות. באותו אופן כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>(a,b)</math> או <math>(a,b]</math> או <math>[a,b)</math> בעלי אותה עוצמה (כל הקטעים מאותו "סוג") נמשיך- ט: הקטע <math>[0,1]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>. ה: נגדיר <math>f:[0,1)\rightarrow [0,1]</math> על ידי: *אם <math>\nexists n\in\mathbb{N}:x=\frac{1}{n}</math> אזי נגדיר <math>f(x)=x</math> *אחרת נגדיר <math>f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n-1}</math> למעשה, כל מספר כמעט נשלח לעצמו פרט לסדרה הבת מנייה <math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...</math> הנשלחת לסדרה <math>\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>. זה פונקציה חח"ע ועל. הערה: אותה פונקציה מוכיחה כי הקטע <math>(0,1]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>(0,1)</math>. ט: הקטע <math>(-1,0]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>. ה: ע"י הפונקציה <math>f(x)=-x</math> ט: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל <math>\mathbb{R}</math>. ה: הפונקציה <math>tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math> הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל. לסיום נעיר כי כל קרן (קטע עם צד אחד אין סופי) ג"כ בעלת אותה עוצמה כי היא מכילה איזה שהוא קטע ומוכלת בממשיים ולכן עפ"י קנטור ברנשטיין בעלת אותה עוצמה. '''הגדרה''': העוצמה של הממשיים מסומנת <math>\aleph</math>. === תרגיל === הוכיחו כי <math>(0,1)\cup (3,4)</math> שווה עוצמה לממשיים פתרון: הוא מוכל בממשיים ומכיל את <math>(0,1)</math> === עוצמת הטבעיים קטנה ממש מעוצמת הממשיים === לשם הוכחת הטענה נשתמש בקבוצה המספרים <math>[0,1)</math> בכתיב עשרוני כלומר כל <math>x\in[0,1)</math> הוא מהצורה <math>x=0.a_1a_2a_3...</math> כאשר <math>\forall i : a_i\in \{0,1\dots 9\}</math> לשם נוחות התרגיל נזהה את x עם פונקציה <math>f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}</math> המוגדרת <math>f(i)=a_i</math> ט: <math>\aleph_0\leq\aleph</math> ה: נגדיר פונקציה <math>g=\mathbb{N}\to [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math> ע"י <math>\forall n\in \mathbb{N}:g(n)=e_n(m)=\delta_{n,m}</math> למשל 17 נשלח לפונקציה ששווה 0 בכל מקום פרט ל-17 ששם היא שווה 1 קל לראות כי g חח"ע. כעת נניח בשלילה כי <math>\aleph_0=\aleph</math> אזי יש פונקציה חח"ע ועל <math>g=\mathbb{N}\to [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math> נסמן <math>g(n)=f_n</math>. נראה כי g אינה על ע"י שנבנה פונקציה f שאין לה מקור: נגדיר <math>f(n)=1</math> אם <math>f_n(n)=0</math> ו <math>f(n)=0</math> אחרת. כעת לכל n <math>f_n\not=f</math> כי <math>f_n(n)\not=f(n)</math> עפ"י הגדרת f. סתירה לכל ש g על. הערה: הזיהוי <math> [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math> אינו מדויק כי <math>0.01=0.00999...</math> ולכן צריך להשלח לאותה פונקציה. נשאיר כתרגיל את דיוק ההוכחה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)