לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הרצאה 9 משפט האיזומורפיזם, מבוא לקידוד; פרק 11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]== *'''משפט האיזומורפיזם הראשון'''. יהי <math>\varphi:G\to H</math> הומומורפיזם בין חבורות. אזי <math>G/\ker(\varphi)\cong im(\varphi) </math> *הוכחה: **לצורך הנוחות נסמן <math>K=\ker(\varphi)</math> ו<math>M=im(\varphi)</math>. **עלינו להראות שקיים איזומורפיזם (כלומר הומומורפיזם חח"ע ועל) <math>f:G/K\to M</math>. **לכל <math>aK\in G/K</math> נגדיר <math>f(aK)=\varphi(a)</math>. **ראשית, עלינו להוכיח כי מדובר בפונקציה מוגדרת היטב. כלומר, בהנתן <math>a,b\in G</math>, אם <math>aK=bK</math> עלינו להוכיח כי <math>f(aK)=f(bK)</math>. ***<math>a=ae\in aK</math> ולכן <math>a\in bK</math>. כלומר קיים <math>k\in K</math> כך ש <math>a=bk</math>. ***<math>\varphi(a)=\varphi(bk)=\varphi(b)\varphi(k)=\varphi(b)</math>. ***<math>f(aK)=\varphi(a)=\varphi(b)=f(bK)</math>. **כעת, עלינו להוכיח ש<math>f</math> הינו הומומורפיזם. ***<math>f\left((aK)(bK)\right)=f(abK)=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=f(aK)f(bK)</math> **עכשיו נוכיח ש<math>f</math> על. ***לכל איבר בתמונה <math>h\in M</math> קיים מקור <math>g\in G</math>. לכן <math>f(gK)=\varphi(g)=h</math>. **ולבסוף, נוכיח ש<math>f</math> חח"ע. ***יהיו <math>aK,bK\in G/K</math> כך ש <math>f(aK)=f(bK)</math> עלינו להוכיח כי <math>aK=bK</math>. ***נתון <math>\varphi(a)=\varphi(b)</math> צ"ל <math>aK=bK</math>. שימו לב שלא צריך להוכיח כי <math>a=b</math>; אכן <math>\varphi</math> לא חייב להיות חח"ע. ***נראה הכלה בכיוון אחד, הכיוון השני דומה. ***יהי <math>ak\in aK</math> צ"ל <math>ak\in bK</math>. ***קל לראות ש <math>ak=bb^{-1}ak</math>, עלינו להוכיח כי <math>b^{-1}ak\in K</math>. ***אכן <math>\varphi(b^{-1}ak)=\left(\varphi(b)\right)^{-1}\varphi(a)\varphi(k)=\left(\varphi(a)\right)^{-1}\varphi(a)=e_H</math> *דוגמא. *נגדיר את הפונקציה <math>\varphi:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_n</math> על ידי <math>\varphi(a)=a\mod n</math> (השארית של החלוקה של a בn). *נוכיח שמדובר בהומומורפיזם. **יהיו <math>a,b\in\mathbb{Z}</math> לפי ההגדרה <math>\varphi(a+b)= a+b \mod n</math>. **נשים לב כי <math>a=\varphi(a)+kn, b=\varphi(b)+mn</math>. **לכן <math>a+b\equiv \varphi(a)+\varphi(b) \mod n</math>. **סה"כ <math>\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)</math> כיוון שהם שקולים מודולו n, ואנו עוסקים בחבורה <math>\mathbb{Z}_n</math>. *כעת מתקיים כי <math>\ker\varphi=n\mathbb{Z}=\{na|a\in\mathbb{Z}\}</math>. *לכן <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n</math> *שאלה - האם בחיבור <math>1+7+5+8</math> ב<math>\mathbb{Z}_9</math> חשוב לבצע את פעולת המודולו בכל חיבור, או שמותר בסוף? *<math>\mathbb{Z}_9</math> איזומורפית לחבורה <math>\{0+9\mathbb{Z},...,8+9\mathbb{Z}\}</math> *נביט ב <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})</math> *הוכחנו כי <math>(aN)(bN)=abN</math>. לכן <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})=21+9\mathbb{Z}</math>. *כיוון ש <math>\varphi(21)=\varphi(3)</math>, נובע לפי הוכחת משפט האיזומורפיזם הראשון כי <math>21+9\mathbb{Z}=3+9\mathbb{Z}</math>, כלומר אכן מותר לעשות את המודולו בסוף. ===מבוא לקידוד=== *קוד ISBN בעל 10 ספרות, כאשר הספרה האחרונה היא ספרת ביקורת. *הספרות שייכות לחבורה <math>\mathbb{Z}_{11}</math>, כאשר 9 הספרות הראשונות הן 0-9 והאחרונה יכולה להיות גם X. *קוד תקין מקיים את הנוסחא <math>10x_1+9x_2+...+x_{10}=0</math> (שימו לב שמדובר בפעולות מודולו 11). *לכן חישוב ספרת הביקורת הוא <math>x_{10}=-\left(10x_1+...+2x_9\right)</math>. *אם ספרה אחת בלבד מהקוד תשתנה בטעות, הקוד בוודאות לא יהיה תקין. **אם נחליף את <math>x_i</math> בספרה <math>y_i</math> על מנת שהקוד החדש יהיה תקין צריך ש <math>a_i(y_i-x_i)=0</math>, אבל <math>a_i\neq 0</math> ו<math>\mathbb{Z}_{11}</math> הוא שדה. *אם נחליף במיקום של זוג ספרות כלשהן נקבל קוד בלתי תקין. **<math>a_ix_i+a_jx_j-a_ix_j-a_jx_i=(a_i-a_j)(x_i-x_j)\neq 0</math>. *שימו לב שקוד זה מוגבל במספר הספרות, ואכן כשהוסיפו ספרות שינו אותו באופן דומה במידה מסוימת לתעודת הזהות שנלמד בהמשך.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)