לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== דוגמה נוספת === נתון מרחב פולינומים <math>P_n[x]</math> הנפרש ע״י <math>B=\left\{1,x,x^2,\dots,x^n\right\}</math>. נגדיר כפלה פנימית באופן הבא: <math>\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1 p(x)q(x)\mathrm dx</math>. נעזר בתהליך גרם־שמידט ונמצא מערכת אורתוגונילית:{{left|<math>\begin{align}p_0(x)=1\\p_1(x)=x-0=x&\langle x,p_0(x)\rangle=\int\limits_{-1}^1x\mathrm dx=0\\p_2(x)=x^2-0-\frac{2/3}2\cdot1=\frac{3x^2-1}3&\langle x^2,p_0\rangle=\frac23,\langle x^2,p_1\rangle=0,\langle p_0,p_0\rangle=2\\p_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\p_4(x)=\frac{35x^4-30x^2+3}8\\\vdots\end{align}</math>}} הערה: בסופו של התהליך מתקבלת סדרה של פולינומים אורתוגונליים הנקראים פולינומי לג׳נדר. מתקיים <math>\int\limits_{-1}^1 p_n(x)p_m(x)\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\ne m\\\frac2{2n+1},&n=m\end{cases}</math>. בנוסף, קיימת נוסחה רקורסיבית <math>\begin{cases}p_0(x)=1,p_1(x)=x\\(k+1)p_{k+1}(x)-(2k+1)xp_k(x)+kp_{k-1}(x)=0\end{cases}</math>. פולינומי צ׳ביצב נוצרים מהמכפלה הפנימית <math>\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{p(x)q(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\T_4(x)=8x^4-8x^2+1\\T_5(x)=16x^5-20x^3+5x\end{align}</math>}} קיימת נוסחת רודריגז: <math>T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}</math>. נוסחה רקורסיבית: <math>\begin{cases}T_0(x)=1,T_1(x)=x\\T_{k+1}(x)-2xT_k(x)+T_{k-1}(x)=0\end{cases}</math>. מתקיים <math>\int\limits_{-1}^1\frac{T_n(x)T_m(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\ne m\\\pi,&n=m=0\\\tfrac\pi2,&\text{else}\end{cases}</math>. פולינומי לגר (Laguerre) נוצרים מ־<math>\langle p,q\rangle=\int\limits_0^\infty \mathrm e^{-x}p(x)q(x)\mathrm dx</math>. נוסחתם הרקורסיבית: <math>\begin{cases}L_0(x)=1,L_1(x)=-x+1\\(k+1)L_{k+1}(x)-(2k+1-x)L_k(x)+kL_{k-1}(x)=0\end{cases}</math> פולינומי הרמיט (Hermite):‏ <math>\langle p,q\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2}p(x)q(x)\mathrm dx</math> ו־<math>\begin{cases}H_0(x)=1,H_1(x)=2x\\H_{k+1}(x)=2xH_k(x)-2kH_{k-1}(x)\end{cases}</math>. ''הערה:'' פולינומי לגר והרמיט לא יופיע במבחן.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)