לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== התמרות פורייה == * <math>G(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־<math>\mathbb R</math> ל־<math>\mathbb C</math> שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־<math>\mathbb R</math>. * '''התמרת פורייה:''' <math>\hat f=\mathcal F[f]:\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת פורייה של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math>. * אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי <math>\hat f</math> מוגדרת ורציפה בכל נקודה <math>\omega\in\mathbb R</math>. בנוסף, <math>\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0</math>. * לכל <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ולכל <math>a,b\in\mathbb C</math> מתקיים: :* <math>\mathcal F[af+bg]=a\mathcal F[f]+b\mathcal F[g]</math> :* אם <math>f</math> ממשית אזי <math>\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}</math>. ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית וזוגית אזי <math>\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)</math> והיא פונקציה ממשית. ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה. :* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>. :* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\!\left(\frac\omega a\right)</math>. :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a)</math>. :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2</math>. :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\sin(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}{2\mathrm i}</math>. :* אם <math>f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[f^{(n)}\right]\!(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F[f](\omega)</math>. :* אם <math>\int\limits_{-\infty}^\infty\left|x^k f(x)\right|\mathrm dx</math> מתכנס לכל <math>k\in\{1,\dots,n\}</math> אזי <math>\hat f</math> גזירה ברציפות <math>n</math> פעמים ומתקיים <math>\mathcal F\!\left[x^n f(x)\right]\!(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F[f](\omega)</math>. * '''התמרת פורייה ההפוכה:''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי בכל נקודה <math>x_0</math> שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים <math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. :* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f'\in E(\mathbb R)</math> אזי <math>f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. * '''עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה:''' תהי <math>f</math> המקיימת <math>f'\in E(\mathbb R)</math>, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה <math>\hat f</math> שלה. נוכל להציב <math>x:=-\omega,\ \omega:=x</math> ב־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x)</math>, לחלק את שני האגפים ב־<math>2\pi</math> ולקבל <math>\hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi}</math>. * אם <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math>. :* {{הערה|מקרה פרטי:}} '''נוסחת פלנשרל (Plancherel):''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math>. * '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g:\mathbb R\to\mathbb R</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt</math>. * <math>f*g=g*f</math> * <math>(f*g)*h=f*(g*h)</math> * <math>f*(g+h)=f*g+f*h</math> * אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בהחלט אז <math>f*g</math> מוגדרת עבורן בכל <math>\mathbb R</math> וגם היא אינטגרבילית בהחלט. * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F[f*g]=2\pi\mathcal F[f]\mathcal F[g]</math>. :* {{הערה|שימוש חשוב:}} נניח שידועות <math>f,g,\hat f,\hat g</math> ונרצה למצוא <math>h</math> כך ש־<math>\hat h=\hat f\cdot\hat g</math>. אזי <math>h=\frac1{2\pi}f*g</math>. === התמרות פורייה שימושיות === * <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-|x|}\right]\!(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}</math> * <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-x^2}\right]\!(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi}</math> (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: <math>\hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)</math>). * עבור <math>a\ge0</math>: <math>\mathcal F[1_{[-a,a]}](\omega)=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega}</math> (כאשר <math>1_A</math> היא הפונקציה המציינת של קבוצה <math>A</math>, ומוגדרת ע״י <math>1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}</math>).
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)