לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חתכי דדקינד
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==חיבור חתכי דדקינד== *יהיו שתי חתכים <math>A,B</math>, נגדיר את החיבור: **<math>A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\}</math> *החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו: **כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה. **סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B. **יהי <math>a+b\in A+B</math>, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים <math>a<c\in A</math> וכן <math>b<d\in B</math> ולכן <math>a+b<c+d\in A+B</math> ו<math>a+b</math> אינו חסם מלעיל של <math>A+B</math> **יהי <math>m\in\mathbb{Q}</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>, לכן קיימים <math>m<a+b\in A+B</math>. כעת <math>m-a<b</math> כלומר <math>m-a</math> אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ <math>m=a+(m-a)\in A+B</math>. ===חתך האפס=== *נגדיר את חתך האפס: **<math>0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}</math> *נוכיח כי חתך האפס נייטרלי לחיבור: **יהי חתך דדקינד <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+0_D=A</math> **נבצע הכלה דו כיוונית. בכיוון הראשון: ***יהי <math>x=a+h\in A+0_D</math> צריך להוכיח כי <math>x\in A</math> ***כיוון ש <math>h\in 0_D</math> נובע לפי ההגדרה כי <math>h<0</math> ולכן <math>a+h<a</math> ***לכן <math>x=a+h</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> ולכן <math>x\in A</math> **בכיוון השני: ***יהי <math>a\in A</math> צריך להוכיח כי <math>a\in A+0_D</math> ***אמרנו כי בחתך דדקינד אין איבר גדול ביותר, ולכן קיים <math>a<b\in A</math> ***כיוון ש <math>a-b<0</math> נובע כי <math>a-b\in 0_D</math> ***סה"כ <math>a=b+(a-b)\in A+0_D</math> כפי שרצינו. ===נגדי=== *יהי חתך A, נגדיר את הנגדי: **<math>-A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}</math> *לדוגמא <math>-\left\{x\in\mathbb{Q}|x<2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<-2\right\}</math> [[קובץ:negDedekind2.png|1000px]] *הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו: **הנגדי לא ריק: ***כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן <math>-A\neq\emptyset</math> **הנגדי חסום מלעיל: ***יהי <math>a\in A</math> לכן לכל <math>m\notin A</math> מתקיים כי <math>a<m</math> ולכן <math>-m<-a</math> ***לכל <math>x\in -A</math> קיים <math>m\notin A</math> כך ש <math>x<-m</math> ולכן <math>x<-a</math> ***בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של <math>-A</math>. **כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל: ***לכל איבר בנגדי <math>x<-m</math> לכן אמצע הקטע בין <math>x,-m</math> גדול מ<math>x</math> וקטן מ<math>-m</math> ולכן שייך לנגדי <math>-A</math> ולכן <math>x</math> אינו חסם מלעיל. **אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי: ***נניח <math>y</math> אינו חסם מלעיל של <math>-A</math> לכן קיים <math>y<x\in -A</math> ולכן קיים <math>m\notin A</math> כך ש <math>y<x<-m</math> ולכן <math>y\in -A</math> ====הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי==== *יהי חתך <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+(-A)=0_D</math> *נבצע הכלה דו כיוונית *בכיוון ראשון: **יהי <math>x+y\in (A+(-A))</math>. **כיוון ש<math>y\in (-A)</math> קיים <math>m\not\in A</math> כך ש <math>y<-m</math> **לכן <math>x+y<m+y<0</math> **לכן <math>x+y\in 0_D</math> *בכיוון שני: **יהי <math>t\in 0_D</math> כלומר <math>t<0</math> **רוצים למצוא <math>a\in A, b\in (-A)</math> כך ש <math>a+b=t</math> **נבחר <math>m\not\in A</math> כך ש<math>m+\frac{t}{2}\in A</math> ***מדוע זה אפשרי? כי אם <math>m+\frac{t}{2}\not\in A</math> אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו <math>\frac{t}{2}</math> שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה **כעת <math>-m+\frac{t}{2}<-m</math> ולכן <math>-m+\frac{t}{2}\in (-A)</math>. **סה"כ <math>t=(m+\frac{t}{2})+(-m+\frac{t}{2})\in A+(-A)</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)