לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== מד״ר מסדר 1 === * מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>\exists y_0:\ N_1(y_0)=0</math> אזי <math>y\equiv y_0</math> פתרון, ואם <math>\exists x_0:\ M_2(x_0)=0</math> אזי <math>x\equiv x_0</math> פתרון. אחרת <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0</math>. * נתונה מד״ר <math>y'=f(ax+by)</math>. אז נציב <math>z=ax+by</math> ו־<math>y'=\frac{z'-a}b</math>. ** {{הערה|הכללה:}} נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)</math> . אם <math>\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math> נציב <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}</math> ונקבל <math>q_p'=g\!\left(\frac qp\right)</math>. אחרת נבחר <math>\lambda=\frac Aa=\frac Bb</math> ונציב <math>z=ax+by</math>. * '''מד״ר הומוגנית:''' נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac yx\right)</math>. אזי נציב <math>z=\frac yx</math> ו־<math>y'=z'x+z</math>. * '''מד״ר לינארית:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)</math>. אם היא לינארית־הומוגנית אזי <math>y=c\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}</math>, ובכל מקרה <math>y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>. * '''משוואת ברנולי:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. נציב <math>z=y^{1-n}</math>, כאשר אם <math>n>1</math> אז <math>y\equiv0</math> פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־<math>\pm\infty</math>), אם <math>0<n<1</math> אז פתרון סינגולרי, ואם <math>n<0</math> אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>. * מד״ר מהצורה <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> היא מדויקת אם״ם יש <math>U</math> כך ש־<math>\mathrm dU</math> שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>. ** אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־<math>\mu</math> כך שתהפוך למדויקת. <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math> תלויה רק ב־<math>x</math>, ואז <math>\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}</math>. היא תלויה רק ב־<math>y</math> אם״ם <math>b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>. * '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)\equiv y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי. * נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. * אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>p=y'</math> ואז <math>x=\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp</math>. לחלופין, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>. * אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>p=y'</math> ואז <math>y=px-\int x\mathrm dp</math>. לחלופין, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>. * '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים), <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה. * '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>. * '''משוואת לגראנז׳:''' נתונה המד״ר <math>y=x\varphi(y')+\psi(y')</math> עבור <math>\varphi(y')\not\equiv y'</math>. נציב <math>p:=y'</math> ואז <math>p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}</math>. לפיכך הפתרון הכללי הוא <math>\begin{cases}x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\displaystyle\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp\\y=x\varphi(p)+\psi(p)\end{cases}</math> או <math>y=p_i x+\psi(p_i)</math> לכל <math>p_i</math> כך ש־<math>p_i=\varphi(p_i)</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)