לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/30.7.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== דוגמה 2 == # פתרו את המד״ר <math>x^2y^2y'=y-1</math>. # בהינתן תנאי התחלה <math>y(1)=2</math>, האם יש פתרון יחיד? אם כן, מהו ומה תחום הגדרתו? # פתרו את סעיף 2 עבור תנאי ההתחלה <math>y(1)=0</math>. === פתרון === # ננסה להפריד את המשתנים:{{left|<math>\begin{align}&\frac{y^2}{y-1}\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{x^2},&x\ne0\ \and\ y(x)\not\equiv1\\\implies&\int\frac{y^2-1+1}{y-1}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dx}{x^2}\\\implies&\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|=-\frac1x+c\end{align}</math>}} עתה נתייחס למקרה <math>y\equiv1</math>: נציב במד״ר ונקבל <math>0=0</math>, לכן זהו אכן פתרון. # ניעזר במשפט הקיום והיחידות לבעיית התחלה מסדר 1 (אנו נציג גרסה כללית יותר מזו שהוצגה בהרצאה, שמדברת על פונקציות רציפות ולאו דווקא ליפשיץ): נתון ש־<math>y'=f(x,y)</math> ו־<math>y(x_0)=y_0</math>. אם קיימת סביבה פתוחה <math>D</math> של <math>(x_0,y_0)</math> שבה <math>f,\frac{\mathrm df}{\mathrm dy}</math> רציפות אזי יש קטע <math>I</math> מקביל לציר <math>x</math> המוכל ב־<math>D</math>, כך שלכל <math>x\in I</math> יש לבעיה פתרון יחיד. ''הערה:'' המשפט הוא תנאי מספיק ולא הכרחי לקיום יחידות.<br>בחזרה לתרגיל, נגדיר <math>f(x,y):=y'=\frac{y-1}{x^2y^2}</math>. אזי <math>f</math> פונקציה רציונלית ולכן רציפה כל עוד המכנה שונה מ־0, כלומר <math>x\ne0\ \and\ y\ne0</math>. כנ״ל עבור נגזרתה. לכן נרצה מלבן פתוח <math>(1,2)</math> סביב נקודת ההתחלה, שאינו נוגע בצירים, למשל <math>D=(0,\infty)^2</math>. לכן מתקיימים תנאי משפט הקיום והיחידות ולפיכך יש לבעיה פתרון יחיד.<br>אם נפתור: הסינגולריות <math>y\equiv1</math> לא מקיימת את תנאי ההתחלה. נציב <math>x=1,y=2</math> בפתרון הכללי ונקבל <math>\frac{2^2}2+2+\ln|2-1|+\frac11=c</math> ולכן <math>c=5</math>. תחום ההגדרה של <math>\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+\frac1x=5</math> הוא <math>(0,\infty)</math>. # עבור <math>y(1)=0</math> תנאי משפט הקיום והיחידות אינם מתקיימים. אין אף פתרון לבעיית ההתחלה הנ״ל – ניתן לוודא זאת בבדיקה ישירה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)