לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 2 תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===כמתים=== בנוסף, לקשרים ניתן להוסיף כמתים (quantifiers). החשובים שבהם הם הכמת "לכל" <math>\forall</math> (זו A הפוכה, קיצור המילה All) והכמת "קיים" <math>\exist</math> (זו E הפוכה, קיצור המילה Exist). תפקיד מרכזי של הכמת הוא להבהיר את כוונת הטענה. למשל הטענה ש "סטונדט הוא יצור חרוץ" יכולה לקבל 2 משמעויות בעזרת הכמתים. או "כל סטודנט הוא יצור חרוץ" או "קיים סטודנט שהוא יצור חרוץ". הטענה הראשונה טוענת לגבי כלל הסטודנטים (אם רוצים להוכיח כי הטענה נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם חרוצים ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה מספיק למצוא סטודנט אחד שאינו חרוץ). לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים). ====תרגיל==== הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים). פתרון: ההצרנה <math>\forall p >1 : (P(p)\iff Q(p))</math> כאשר * <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט "<math>x</math> הוא ראשוני". * <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט <math>\forall a,b : p|ab \Rightarrow (p|a \lor p|b)</math> הערה: סדר הכמתים כן משנה (לפעמים) למשל <math>\exist x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exist x S(x,y)</math>. לדוגמא: יש הבדל בין "לכל סיר קיים מכסה" לבין "קיים מכסה שמתאים לכל סיר". האם אחד מן הפסוקים האלו גורר את השני? עוד דוגמא: הצרן את המשפט "לכל מספר טבעי יש מספר טבעי הגדול ממנו" פתרון: <math>\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}:n<m</math> לעומת זאת <math>\exists m\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb{N}:n<m</math> פירושו שקיים מספר טבעי שגדול מכל המספרים הטבעיים. נשים לב כי בשביל לקבוע אם הפסוק <math>\forall x P(x)</math> אנחנו צריכים לדעת איזה <math>x</math>-ים "חוקיים" (בהנחה שאנחנו יודעים את <math>P</math>). '''סימון:''' נעיר שיש דרכים רבות לכתוב פסוקים כגון אלו. מקובל למשל <math>\forall x P(x)</math>, <math>(\forall x)P(x)</math> או <math>\forall x, P(x)</math>. כל הסגנונות חוקיים, בתנאי שהפסוק ניתן לקריאה באופן חד-משמעי. הערה: לכל כמת יש אזור תחולה. בתוך אזור תחולה שמות המשתנים אינם חשובים. למשל עבור הפרדיקט <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק <math>\forall t\forall s S(t,s)</math>. ====תרגיל==== שימו לב שגם למשתנים בהגדרות יש אזור תחולה. צריך לשים לב לא להתבלבל באזורים האלו, וכדי למנוע "התנגשויות" בשמות, פשוט נחליף אותם. למשל נגדיר מספר <math>x</math> להיות '''דו־ריבועי''' אם קיימים <math>y,z</math> כך ש-<math>x=y^2+z^2</math>. הוכיחו שלכל זוג מספרים <math>x,y</math> אם הם מספרים דו־ריבועיים, אז גם המספר <math>xy</math> הוא דו־ריבועי. פתרון: נגדיר את הפרדיקט <math>Q(x)</math> להיות T אם ורק אם <math>x</math> הוא מספר דו־ריבועי (הצרינו זאת!). אנו נדרשים להוכיח את הטענה <math>\forall x\forall y:(Q(x) \land Q(y)) \rightarrow Q(xy)</math>. לפי ההגדרה, אם <math>x</math> הוא דו־ריבועי, אז קיימים <math>a,b</math> כך ש-<math>x=a^2+b^2</math>, ובאופן דומה אם <math>y</math> דו־ריבועי, אז קיימים <math>c,d</math> כך ש-<math>y=c^2+d^2</math>. כדי להוכיח ש-<math>xy</math> הוא גם דו־ריבועי, יש להראות שקיימים <math>e,f</math> כך ש-<math>xy=e^2+f^2</math>. נעזר בזהות <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>. לכן קיבלנו <math>xy = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>, ומכאן שנוכל לבחור את <math>e,f</math> הדרושים לנו להיות <math>e=ac-bd</math>, <math>f=ad+bc</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)