לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 5 מדמח קיץ תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
====פתרון==== הפרכה. דוגמה נגדית: נגדיר יחס <math>R</math> מעל <math>A=\mathbb{Z}\cup\left\{ \left\{ 1\right\} \right\}</math> , בצורה הבאה: <math>aRb</math> אם"ם <math>a,b\in\mathbb{Z}\land a\leq b \lor a=b=\left\{ 1\right\}</math> . ראשית, צ"ל שזה יחס סדר חלקי: רפלקסיביות: לכל <math>a\in A</math> אם <math>a=\left\{ 1\right\}</math> אזי לפי ההגדרה aRa וכן אם <math>a\in\mathbb{Z}</math> גם כן מתקיים aRa. אנטי סמטריות: אם <math>\left(a,b\right),\left(b,a\right)\in R</math> אזי אם <math>a=\left\{ 1\right\}</math> אזי לפי ההגדרה <math>a=b</math> (כי <math>a</math> לא מתייחס לאף אחד אחר חוץ מלעצמו, לפי ההגדרה). אם <math>a\in\mathbb{Z}</math> אזי בהכרח לפי הגדרת היחס גם <math>b\in\mathbb{Z}</math> ואם <math>a\leq b\land b\leq a</math> בשלמים אז בהכרח <math>a=b</math>. טרנזטיביות: אם <math>\left(a,b\right),\left(b,c\right)\in R</math> אזי אם <math>a=\left\{ 1\right\}</math> אזי לפי ההגדרה <math>a=b=c</math> וכמובן <math>\left(a,c\right)=\left(a,a\right)\in R</math>. אם <math>a\in\mathbb{Z}</math> אזי בהכרח לפי הגדרת היחס גם <math>b\in\mathbb{Z}</math> ולכן גם <math>c\in\mathbb{Z}</math> ומתקיים <math>a\leq b\leq c</math> ובפרט <math>\left(a,c\right)\in R</math>. כעת, נראה שיש מינימלי יחיד שאינו קטן ביותר: <math>\left\{ 1\right\}</math> הוא איבר מינימלי יחיד בקבוצה. מינימלי כי פרט לעצמו אף איבר לא ניתן להשוואה עימו, ולכן אין שונה ממנו שקטן ממנו, ואין עוד מינימלי כי <math>\forall a\in\mathbb{Z}:a-1<a</math>. הוא לא הקטן ביותר כי אף איבר לא ניתן להשוואה עימו, וכלן לא מתקיים שהוא קטן מכולם (הוא לא קטן מאף שלם). הערה: <math>\left\{ 1\right\}</math> הוא גם מקסימלי יחיד שאינו גדול ביותר. '''הגדרות.''' תהי A קבוצה, ותהי B קבוצה המוכלת בה ויהי R יחס סדר חלקי: *חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math> *חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math> *החסם העליון (סופרמום) של B הינו האיבר הקטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math> *החסם התחתון (אינפימום) של B הינו האיבר הגדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)