לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-101 חשיבה מתמטית - כמתים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===פסוקים אמיתיים=== לפסוקים שיש בהם כמתים אי אפשר לבנות טבלאות אמת, משום שלצד האטומים המקבלים רק שני ערכי אמת אפשריים, יש בהם משתנים העשויים לעבור על-פני מספר אינסופי של אפשרויות. לכן הלוגיקה המטפלת בפסוקים עם כמתים (הנקראת "לוגיקה מסדר ראשון") מורכבת יותר מן הלוגיקה הפסוקית, ויש לה יכולת ביטוי רחבה יותר. גם בלוגיקה זו אומרים ששני פסוקים <math>\varphi,\psi</math> הם שקולים אם <math>\varphi\leftrightarrow\psi</math> מקבל ערך אמת לכל הצבה של המשתנים המעורבים. '''פסוק אמיתי''' הוא כזה שמתקיים לכל בחירה של הפרדיקטים ולכל הצבה במשתנים. כל הטאוטולוגיות הן פסוקים אמיתיים, אבל ההיפך אינו נכון. לא נכנס כאן לפרטים, שמהם מתפרנסים חוקרי הלוגיקה המתמטית. '''כיצד מוכיחים'''. זוהי דרך המלך להוכחה או סתירה של טענות: *כדי להוכיח שהפסוק <math>\forall x:P(x)</math> אמיתי, יש להראות שהטענה P נכונה לכל ערך אפשרי של x. *כדי להוכיח שהפסוק <math>\exists x:P(x)</math> אמיתי, יש למצוא ערך של x שעבורו הטענה נכונה ("דוגמא"). *כדי להוכיח שהפסוק <math>\forall x:P(x)</math> שקרי, יש למצוא ערך של x שעבורו הטענה אינה נכונה ("דוגמא נגדית"). *כדי להוכיח שהפסוק <math>\exists x:P(x)</math> שקרי, יש להראות שהטענה P אינה נכונה לכל ערך אפשרי של x. בפרק האחרון נחזור להוכחות ונעסוק בהן בהרחבה. למרות שרוב ההוכחות הולכות בדרך המלך, לפעמים יש דרכים קצרות ומתוחכמות יותר. '''תרגיל'''. קבע אלו מהפסוקים הבאים הם אמיתיים, כאשר הסימנים "לכל" ו"קיים" פירושם "לכל מספר שלם" ו"קיים מספר שלם". אם הפסוק אינו אמיתי, בחר פרדיקטים ומשתנים המדגימים זאת. *<math>\forall x P(x)\implies\exists x P(x)</math> . *<math>\forall z:P(z)\to\forall x,y:P(x^2+y^2)</math> . *<math>\exists z:P(z)\to\exists x,y:P(x^2+y^2)</math> . *<math>(\forall x:P(x)\and\forall x:Q(x))\to\forall x:(P(x)\and Q(x))</math> . *<math>\forall x:(P(x)\and Q(x))\to(\forall x:P(x)\and\forall x:Q(x))</math> . *<math>(\exists x:P(x)\and\exists x: Q(x))\to\exists x:(P(x)\and Q(x))</math> . **'''פתרון''': יש מספר שלם ריבועי ויש מספר שלם בין 70 ל-80; אבל אין מספר שלם ריבועי שהוא בין 70 ל-80. *<math>\exists x:(P(x)\and Q(x))\to(\exists x:P(x)\and\exists x:Q(x))</math> . *<math>(\exists x:P(x)\or\exists x:Q(x))\to\exists x:(P(x)\or Q(x))</math> . '''תרגיל'''. שכנע את עצמך באמיתיות הפסוק הבא: *<math>(\forall x:P(x)\to Q(x))\to(\forall x:P(x)\to\forall x:Q(x))</math> . '''תרגיל'''. נניח ש-c הוא קבוע, A תכונה אטומית, ו-P פרידקט עם משתנה אחד. הוכח את השקילות של הפסוקים הבאים: * <math>\ (\forall x: P(x)) \leftrightarrow A</math> (השמש זורחת אם ורק אם כל התרנגולים קוראים), * <math>\ (P(c) \rightarrow A) \wedge (A \rightarrow \forall x: P(x))</math> (כשהתרנגול קוקי קורא השמש זורחת, וכשהשמש זורחת כל התרנגולים קוראים). * האם הפסוק <math>\ (\forall x: P(x)) \leftrightarrow A</math> שקול לפסוק <math>\ \forall x: (P(x) \leftrightarrow A)</math> (כל תרנגול, בנפרד, קורא אם ורק אם השמש זורחת)?
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)