לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==תכונות של הדטרמיננטה== 1. כפליות <math>|AB|=|A||B|</math>. 2. בפרט <math>|A^k|=|A|^k</math>. 3. <math>|A^t|=|A|</math>. 4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?). ~כן בבקשה~ 5. אם <math>A</math> הפיכה אז <math>|A^{-1}|=|A|^{-1}</math>. 6. <math>A</math> הפיכה אם"ם <math>|A|\neq 0</math>. למשל המטריצה <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math>איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס. שימו לב שאין בהכרח קשר בין <math>|A+B|</math> לבין <math>|A|+|B|</math>. (דוגמא?) ===תרגיל=== נתונות מטריצות <math>A,B\in F^{n \times n}</math> כך ש <math>|A|=2, |B|=-1</math>. חשבו את <math>|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|</math>. '''פתרון''' <math>|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}</math> ===תרגיל=== תהי <math>B\in F^{3\times 3}</math>עם דטרמיננטה <math>|B|=-1</math>. מצא את <math>|2B|</math>. '''פתרון''' <math>|2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)</math> '''בהכללה:''' <math>|\alpha A|=\alpha^n |A|</math>. ===תרגיל=== 1. תהי <math>A</math>מטריצה ממשית והפיכה מסדר <math>n</math>המקיימת <math>A^4+2A=0</math>. חשבו את <math>|A|</math>. 2. נניח <math>A</math>מקיימת <math>A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots +a_1A+I=0</math>, הוכיחו כי היא הפיכה. 3.תהיינה <math>A,B</math> ריבועיות מסדר <math>n</math> ''אי-זוגי'' מעל שדה ממאפיין שונה מ2. נתון ש<math>AB+BA=0</math>, הוכיחו כי אחת מהמטריצות איננה הפיכה. פתרון: 1. נעביר אגפים ונקבל <math>A^4=-2A</math>, נקח דטרמיננטה <math>|A|^4 =(-2)^n|A|</math> ולכן <math>|A|=(-2)^{\frac{n}{3}}</math>. 2. נעביר אגפים ונסדר <math>A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I</math>, ומכפלת הפיכות היא הפיכה. (ומי שרוצה להפוך לתרגיל על דטרמיננטות - נקח דטרמיננטה <math>|A||something|=|-I|=(-1)^n</math>. בפרט, <math>|A|\neq 0</math>ולכן <math>A</math>הפיכה). 3. נעביר אגפים <math>AB=-BA</math> ונקח דטרמיננטה <math>|A||B|=(-1)^n|B||A|</math>. נתון ש<math>n</math> אי-זוגי ולכן <math>|A||B|=-|A||B|</math>. זה מכריח ש<math>|A||B|=0</math> ולכן או ש <math>|A|=0</math>ואז <math>A</math>לא הפיכה, או ש<math>|B|=0</math> ואז <math>B</math>לא הפיכה. ===תרגיל=== תהי <math>A</math>מטריצה ממשית אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי. הוכיחו כי היא איננה הפיכה. '''פתרון''' לפי הנתון <math>A^t=-A</math> ולכן <math>|A|=|A^t|=|-A|=(-1)^n|A|</math> מה שגורר <math>|A|=0</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)