לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/הגדרה
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==טורים טלסקופיים== כפי שטלסקופ ארוך מאד (או אנטנה של רדיו) מתקפלים אל תוך עצמם (כל חתיכה נכנסת בקודמה), כך לעתים סכום של מספרים מתבטל ברובו ומשאיר רק מספר קטן של מחוברים. אם תרצו, זהו טור מטריושקה. לדוגמא, קל לוודא כי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^{10}\frac1n-\frac1{n+1}=\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots=\frac11-\frac1{11}</math> טור נקרא '''טלסקופי''' אם סדרת הסכומים החלקיים שלו מצטמצמת באופן דומה לדוגמא לעיל. זו אינה הגדרה מתמטית מדויקת, אלא כינוי לדרך מסוימת לחשב סכום של טור. <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> הוכח כי הטור הבא מתכנס ומצא את סכומו :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+2)(n+4)}</math> ;פתרון. נפרק את הביטוי לשברים חלקיים, על-מנת לקבל <math>\dfrac1{(n+2)(n+4)}=\dfrac1{2(n+2)}-\dfrac1{2(n+4)}</math> על-ידי התבוננות במספר האיברים הראשונים של הטור, אנו מנחשים כי סדרת הסכומים החלקיים מקיימת את הנוסחא :<math>S_N=\dfrac16+\dfrac18-\dfrac1{2n+6}-\dfrac1{2n+8}</math> את נוסחא זו קל להוכיח באינדוקציה. אם כך, סכום הטור - הלא הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים - שווה <math>\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\dfrac16+\dfrac18=\dfrac7{24}</math> <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> קבע אם הטור הבא מתכנס :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)</math> ;פתרון. נביט בסדרת הסכומים החלקיים :<math>\begin{align}S_N&=\ln\left(\dfrac21\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{N+1}{N}\right)\\S_N&=\ln(2)-\ln(1)+\ln(3)-\ln(2)+\cdots+\ln(N+1)-\ln(N)\\&=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1)\end{align}</math> ולכן סדרת הסכומים החלקיים שואפת לאינסוף והטור אינו מתכנס.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)