לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
שיחה:88-230 סמסטר א' תשעא
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
הוספת נושא
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
הוספת נושא
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==שאלה כללית לגבי שארית Peano== לא הבנתי למה אנו נדרשים להוכיח כל הזמן שהשארית (בצורת Peano) הינה <math>o(||h||^n)</math>, הרי ניתן להראות שזוהי תכונה של טור טיילור, כאשר הפונקציה מקיימת <math>f \in C^n[K]</math>, ו-<math>K</math> הוא ריבוע (מלבן). אם נסתמך על כלל לופיטל ל-n משתנים, נקבל כי - <math>\lim_{x \rightarrow x_0} R_n(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-p_n(x)}{||x-x_0||^n} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{D(f(x)-p_n(x))}{D(||x-x_0||^n)}= ... = 0</math>. כאן, <math>x=(x_1,x_2,...,x_k)</math> ו-<math>x_0=(x_{0_1},x_{0_2},...,x_{0_k})</math>. <math>p_n</math> זהו פולינום טיילור מסדר n, ו-<math>R_n</math> זו השארית. <math>D=\partial_{x_1}+\partial_{x_2}+...+\partial_{x_k}</math> זהו אופרטור הגזירה (לפי כל המשתנים). מכל-מקום, אם <math>f \not\in C^n[K]</math> הרי אין כל טעם לדבר על טור טיילור, <math>p_n(x)</math>, שהרי המקדמים אינם מוגדרים היטב! (<math>a_{\alpha}=\frac{D^{\alpha}f(x_0)}{\alpha!}</math>) '''לסיכום''' -- האם יש צורך להראות שאכן השארית בטור טיילור (כאשר מתקיימים התנאים להלן) הינה שארית Peano..?? ::: אגב, את כלל לופיטל ל-n משתנים ניתן להוכיח בצורה דומה למשתנה אחד, כדלקמן: ::: תהיינה <math>f(\bold{x}), g(\bold{x})</math> פונקציה דיפרנציאבילית ומוגדרת בריבוע (מלבן) <math>K</math>. כאן, <math>\bold{x}=(x_1,x_2,...,x_n)</math>. (<math>\bold{x} \in \R^n</math>) ::: תהי <math>\bold{x}_0 \in K</math> כך שבנקודה הזו מתקיים - ::: <math>\lim_{\bold{x} \rightarrow \bold{x}_0} f(\bold{x}) = \lim_{\bold{x} \rightarrow \bold{x}_0} g(\bold{x}) = 0</math> ::: נוכל אפוא להגדיר את הפונקציות <math>f</math> ו-<math>g</math> כך ש-<math>f(\bold{x}_0)=g(\bold{x}_0)=0</math>. ::: דבר זה לא ישפיע, כמובן, על ערך גבול המנה במקודה, אך כך הפונקציות תהיינה רציפות בנקודה. ::: עפ"י משפט הערך הממוצע נוכל לרשום - ::: <math>\frac{f(\bold{x})}{g(\bold{x})} = \frac{f(\bold{x})-f(\bold{x}_0)}{g(\bold{x})-g(\bold{x}_0)} = \frac{\partial_{x_1}f(\xi)\cdot \Delta x_1+...+\partial_{x_n}(\xi)\cdot \Delta x_n}{\partial_{x_1}g(\eta)\cdot \Delta x_1 +...+ \partial_{x_n}\cdot \Delta x_n}</math> ::: היכן ש-<math>\Delta x_\mu = x_\mu - {x_0}_\mu</math> (<math>\forall 1 \le \mu \le n</math>) ::: כאשר, <math>\xi=\xi(\bold{x})</math> וכן, <math>\eta=\eta(\bold{x})</math>. ::: כמו-כן, ממשפט הערך הממוצע ידוע כי <math>\xi = \bold{x}_0 + t\cdot (\bold{x} - \bold{x}_0)</math> ו-<math>\eta = \bold{x}_0 + s\cdot (\bold{x}-\bold{x}_0)</math> כאשר <math>t,s \in [0,1]</math> (דהיינו, הנקודות נמצאות על הישר המבחר את <math>\bold{x}_0</math> ו-<math>\bold{x}</math>). ::: אם נבחר, פרט, סדרת נקודות <math>{\bold{x}_n}</math> כך ש- <math>\Delta x_\mu</math> הוא קבוע (לכל אינדקס <math>\mu</math>), אזי נקבל כי - ::: <math>\frac{f(\bold{x}_n)}{g(\bold{x}_n)} = \frac{Df(\xi(\bold{x}_n))}{Dg(\eta(\bold{x}_n))}</math> ::: כיוון ש-<math>\bold{x}_n \rightarrow \bold{x}_0</math>, וברור כי <math>\xi(\bold{x}_n),\eta(\bold{x}_n) \rightarrow \bold{x}_0</math>, וכן הנחנו שהגבול של מנת הנגזרות קיים, אזי ::: שלכל סדרה הגבול יתכנס גם לערך זה, וממילא קיבלנו את נכונות המשפט! מ.ש.ל!
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)