לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חדוא 1 - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 3 - טורים== [https://youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-t4S3UxsuuifepjuWgbJ7_5 פלייליסט של כל טורים] ===מבוא והגדרה=== <videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash> *תהי סדרה <math>a_n</math>, נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' (סס"ח בקיצור) של <math>a_n</math> ע"י **<math>S_1=a_1</math> **ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>S_{n+1}=S_n+a_{n+1}</math> *במילים אחרות, <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math> *הגדרת הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> **אומרים כי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אם <math>\lim S_n = L</math> *אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר. *שימו לב כי בעצם: **<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k</math> *אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, אזי <math>a_n\to 0</math> *הוכחה: **<math>S_n,S_{n+1}\to L</math> **לכן <math>a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0</math> *<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k</math> *מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל '''כן משפיע''' על סכום הטור. <videoflash>v-qwJWYvuNY</videoflash> ====חשבון טורים==== *אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, ו<math>c\in\mathbb{R}</math> קבוע אזי **<math>\sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k</math> *אם הטורים <math>\sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנסים אזי **<math>\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k</math> ====הטור ההנדסי==== *הטור <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> מתכנס אם ורק אם <math>|x|<1</math> וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי: **<math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}</math> וכמו כן <math>\sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}</math> <videoflash>suDMRh69Lgc</videoflash> ====טור מקל סלפי (טלסקופי)==== *חישוב <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k}</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי *חישוב <math>\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי <videoflash>uZHNxYO7S-Q</videoflash> ====העשרה על סוגי סכימה==== <videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash> ===התכנסות בהחלט=== *משפט: אם טור הערכים המוחלטים <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס, אזי גם הטור המקורי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס. *הגדרה: **הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בהחלט''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס **הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בתנאי''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אך <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר **הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתבדר''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתבדר וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר <videoflash>OFcOpUNprTo</videoflash> *משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי: *<math>\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|</math> *הוכחה: *לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי *<math>\left|\sum_{k=0}^n a_k\right|\leq \sum_{k=0}^n |a_k|</math> *ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו. ===מבחני התכנסות לטורים חיוביים=== ====הקדמה והטור ההרמוני==== *הגדרה: טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי <math>a_n\geq 0</math>. *סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה. *לסס"ח של הטור ההרמוני <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר: **<math>\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math> **<math>S_1 =1\geq \frac{1}{2}</math> **<math>S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}</math> **<math>S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}</math> **... **באופן כללי <math>S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty</math> <videoflash>M3B6018c-4g</videoflash> ====מבחני ההשוואה==== *מבחן ההשוואה הראשון- *תהיינה סדרות כך ש <math>0\leq a_n\leq b_n</math> לכל n. אזי: ** אם הטור הגדול יותר <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס. ** נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר. *דוגמא: **<math>\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}</math> **ראינו שהטור החיובי <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k}</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> מתכנס *מבחן ההשוואה הגבולי- *תהיינה סדרות <math>0\leq a_n,b_n</math> כך ש <math>\frac{a_n}{b_n}\to c</math> אזי: ** אם <math>c=\infty</math> אזי <math>a_n>b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס ** אם <math>c=0</math> אזי <math>a_n<b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס ** אחרת, <math>0<c\in\mathbb{R}</math> והטורים '''חברים''' <math>\sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k</math>, כלומר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס *דוגמא: **<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(\sqrt[k]{k!}\right)^2} \sim \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> <videoflash>DDOups05oms</videoflash> ====מבחני השורש והמנה==== *יהי טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> *מבחן המנה - **אם <math>\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט''' **אם <math>\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר''' *מבחן השורש - **אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט''' **אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר''' *שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות... <videoflash>Y7k-a29_03g</videoflash> ====מבחן העיבוי==== *מבחן העיבוי- **תהי <math>0\leq a_n</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}</math> מתכנס *הוכחה: ** ראשית, נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum_{k=2}^{2^n} a_k</math> כלומר **<math> a_2 + 2\cdot a_4 +4\cdot a_8+... = a_2 + a_4 + a_4 +a_8 + a_8 + a_8 + a_8 + ... \leq a_2 + a_3 + a_4 +a_5 + a_6 +a_7 +a _8 +...</math> **כעת נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=0}^{n-1} 2^k a_{2^k}\geq \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k</math> *סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס. <videoflash>UozGPSlW8fM</videoflash> =====הטור ההרמוני המוכלל===== *הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}</math> מתכנס אם ורק אם <math>a>1</math> *דוגמאות: *<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math> *<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math> *[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|עוד דוגמאות]] ===מבחני התכנסות לטורים כלליים=== ====מבחן דיריכלה==== *תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס *תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''הסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math> *אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> מתכנס. *דוגמאות: **<math>\sum\frac{\sin(n)}{n}</math> **<math>\sum\frac{|\sin(n)|}{n}</math> <videoflash>m5kFinYjG8A</videoflash> *הוכחה: *נסמן ב<math>D_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> וב<math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>. *יהיו <math>m>n\in\mathbb{N}</math> **<math>D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})</math> **<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n| +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math> **כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n, <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n. **<math>|D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0</math> *לכן <math>D_n</math> סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס. <videoflash>Ou3ixbIVfYI</videoflash> ====מבחן לייבניץ==== *תהי <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס. אזי: ** הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math> מתכנס. **<math>\left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\right|\leq a_1</math>. *הוכחה: **כיוןן שהסס"ח של <math>(-1)^{n+1}</math> חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה. **נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math>. **כיוון שהסדרה <math>a_n</math> יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי: ***<math>S_{2n}\geq 0</math> ***<math>S_{2n-1}\leq a_1</math> <videoflash>nJU3b5zvURQ</videoflash> ===סיכום בדיקת התכנסות 🖖=== *כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר? #אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר # נבצע מבחני ספוק 🖖 ##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי. ##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר. ##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי. #אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי ##מבחן לייבניץ ##מבחן דיריכלה ##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל) ===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים=== *תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את: **<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math> **<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math> *<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> *<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math> *הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם. *אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף. *כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס. <videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash> ===שינוי סדר הסכימה=== *תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>p_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>. *תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math> *דוגמא: **<math>a_n=1,-1,1,-1,...</math> **<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,...</math> **<math>p_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math> *בדוגמא האחרונה: *נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של <math>a_n</math> ומתקיים כי: **<math>S_n=1,0,1,0,...</math> *נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>p_n</math>, מתקיים כי: **<math>D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...</math> *שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף. <videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash> ====משפט רימן==== *משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> אזי לכל <math>-\infty\leq S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math> *כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה. <videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash> ====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט==== *יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =S</math> אזי לכל שינוי סדר <math>p_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math> *כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור. <videoflash>GG76LdzRvKo</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)