לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===חוג הפולינומים=== *יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, אזי <math>\mathbb{F}[x]</math> הוא חוג הפולינומים עם פעולות כפל וחיבור רגילות. **כלומר <math>\mathbb{F}[x]=\{a_nx^n+...+a_1x+a_0|n\in\mathbb{N},a_i\in\mathbb{F}\}</math>. *עבור פולינום <math>a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> כאשר <math>a_n\neq 0</math> אומרים ש'''הדרגה''' שלו היא <math>n</math>. *עבור פולינום האפס אפשר להגיד שדרגתו היא <math>-1</math>. *טענה (חלוקה עם שארית): יהיו שני פולינומים <math>f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]</math> כך ש<math>g(x)</math> אינו פולינום האפס, אזי קיימים פולינומים יחידים <math>q(x),r(x)</math> כך ש: **<math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>. **<math>\deg(r(x))<\deg(g(x))</math>. *הוכחה: *קיום: **יהי <math>g(x)</math> כזה. **אם <math>\deg(f)<\deg(g)</math> אזי <math>f=0\cdot g + f</math>. **אם <math>\deg(f)\geq\deg(g)</math> נוכיח באינדוקציה על הדרגה של <math>f</math>. **נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math>, <math>g(x)=b_mx^m+...+b_0</math> כאשר נתון <math>n\geq m</math>. **הפולינום <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)</math> הוא מדרגה קטנה ממש מ<math>n</math> ולכן מקיים את הטענה לפי הנחת האינדוקציה. **לכן <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>. **לכן <math>f(x)=(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q(x))g(x)+r(x)</math>. *יחידות: **נניח <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math>. **לכן <math>(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_1(x)-r_2(x)</math>. **אבל <math>\deg(r_1(x)-r_2(x))<\deg(g(x))</math> ולכן <math>q_1(x)-q_2(x)=0</math> ולכן גם <math>r_1(x)-r_2(x)=0</math>. *מסקנה: עבור פולינום <math>f(x)</math> ועבור נקודה <math>a\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>f(a)=0</math> אם"ם קיים פולינום <math>q(x)</math> כך ש <math>f(x)=q(x)(x-a)</math>. *במילים: a הינו שורש של הפולינום f אם"ם הפולינום f מתחלק בפולינום x-a. *הוכחה: **לפי משפט החלוקה עם שארית קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)</math> כך ש: ***<math>f(x)=q(x)(x-a)+r(x)</math>. ***<math>\deg(r(x))<\deg(x-a)=1</math>, כלומר <math>r(x)=r\in\mathbb{F}</math> הוא קבוע. **נציב <math>a</math> ונקבל <math>f(a)=r</math>. **לכן <math>f(x)=q(x)(x-a)</math> אם ורק אם <math>f(a)=0</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)