לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הרצאה 13 קודים ציקליים; פרק 22 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]== ===קידוד פולינומי ציקלי=== *עבור הקידוד הציקלי נקבע את הפרמטרים הבאים: **יהי k אורך המידע, כלומר נקודד פולינומים עד דרגה <math>k-1</math> בלבד. **יהי g פולינום מדרגה m, לפי נקודד קידוד פולינומי. **נסמן את אורך המילה המקודדת ב<math>n=k+m</math>. **מילה היא חוקית אם ורק אם היא מהצורה <math>h(x)g(x)</math> כאשר <math>deg(h(x))<k</math> *קוד נקרא ציקלי אם לכל מילה חוקית <math>(a_{n-1}\ a_{n-2}\ \cdots\ a_1\ a_0)</math> גם ההזזה הציקלית <math>(a_{n-2}\ a_{n-3}\ \cdots\ a_0\ a_{n-1})</math> היא מילה חוקית. *נתאר את ההזה הציקלית באמצעות פעולה אלגברית. **יהי <math>f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math> **אזי <math>x\cdot f(x) \equiv a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x+a_{n-1} \mod x^n-1</math> **כלומר ההזזה הציקלית של <math>f(x)</math> היא השארית של <math>x\cdot f(x)</math> בחלוקה ב<math>x^n-1</math>. **הוכחה: ***אכן <math>x\cdot f(x)= a_{n-1}x^n+...+a_0x=a_{n-1}(x^n-1) + a_{n-1} + a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x</math> *במילים פשוטות: **יהי <math>f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math> **אם <math>a_n=0</math> אזי ההזזה הציקלית היא <math>x\cdot f(x)</math> **אם <math>a_n=1</math> אזי ההזה הציקלית היא <math>x\cdot f(x) +x^n +1</math> ***(מכבים את הביט האחרון, ומוסיפים ביט ראשון) *משפט: הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^n+1</math> אם ורק אם הקוד הפולינומי הינו ציקלי. *שימו לב: n הוא אורך המילה המקודדת, שכולל הן את המידע והן את היתירות. **הוכחה: **בכיוון ראשון, נניח כי הקוד הוא ציקלי: ***<math>x^{k-1}g(x)</math> היא מילה חוקית ***כיוון שהקוד ציקלי, גם ההזזה הציקלית <math>x\cdot x^{k-1}g(x)+x^n+1</math> חוקית ***כלומר <math>x^k g(x)+x^n+1=h(x)g(x)</math> ***לכן <math>x^n+1=(h(x)+x^k) g(x)</math>, כפי שרצינו. **בכיוון שני, נניח כי <math>x^n+1=t(x)g(x)</math> ***נשים לב כי <math>deg(t(x))=k</math> ***תהי מילה חוקית <math>h(x)g(x)</math> ***אם <math>deg(h\cdot g)<n</math> אז ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)</math> והיא מילה חוקית כי <math>deg(xh(x))<k</math> ***אחרת, נניח כי <math>deg(h\cdot g)=n</math> ולכן ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)+x^n+1</math> ***כלומר ההזזה הציקלית היא <math>xh(x)g(x)+t(x)g(x)=(xh(x)+t(x))\cdot g(x)</math> ***כיוון ש <math>deg(xh(x))=deg(t(x))=k</math> נובע כי <math>deg(xh(x)+t(x))<k</math> ***לכן <math>(xh(x)+t(x))\cdot g(x)</math> מילה חוקית, כפי שרצינו. *משפט: קוד פולינומי ציקלי עם פולינום <math>g(x)</math> מדרגה <math>m</math> מסוגל לזהות כל כמות של שגיאות, בתנאי שכולן נמצאות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים. *הוכחה: **נניח שקרו טעויות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים. **אם המילה החדשה חוקית, גם כל הזזה ציקלית שלה היא חוקית. **נזיז את <math>m</math> הביטים כך שיהיו בקצה הימני במקום של היתירות. **כיוון שהיתירות היא יחידה, בוודאות המילה אינה חוקית, סתירה. *דוגמא: *<math>x^7-1=(1+x)(1+x+x^3)(1+x^2+x^3)</math> *לכן הקוד הנוצר על ידי הפולינום <math>g(x)=1+x+x^3</math> עבור וקטורי מידע באורך 4 הוא ציקלי. *פרוטוקול Ethernet משתמש בתיקון שגיאות ציקלי הנקרא CRC32, ובפרט בפולינום: *<math>g(x)=x^{32} + x^{26} + x^{23} + x^{22} + x^{16} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1</math>. *הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^{2^{32}-1}-1</math>, כלומר הוא מתאים לקידוד של עד למעלה מ4 מיליארד ביטים של מידע.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)