לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== מובן של מציאת קירוב === הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>W=\mbox{span}(\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\})</math> הוא <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k</math>. ==== טענת עזר ==== יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> קבוצה אורתונורמלית ב־<math>V</math>. אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>. ===== הוכחה ===== {{left|<math>\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,\mathbf e_k\right\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_k</math>}}{{משל}} {{המשך סיכום|תאריך=31.7.12}} ==== הוכחה ==== '''הגדרה:''' <math>c_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math> נקרא ''"מקדם פורייה"''. צריך להוכיח ש־<math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>. אזי יהי <math>\mathbf v\in W</math> ונסמן <math>\mathbf v=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math>. לכן {| {{=|l=\left\Vert\mathbf u-\mathbf v\right\Vert^2 |r=\langle\mathbf u-\mathbf v,\mathbf u-\mathbf v\rangle }} {{=|r=\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle-\left\langle\mathbf u,\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k\right\rangle-\left\langle\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k,\mathbf u\right\rangle+\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle }} {{=|r=\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\Big(\overline{a_k}c_k+a_k\overline{c_k}\Big)+\sum_{k=1}^n\vert a_k\vert^2 }} {{=|r=\Vert\mathbf u\Vert^2+\sum_{k=1}^n\vert c_k-a_k\vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 |c=מתקיים<br><math>\begin{array}{l}|c_k-a_k|^2-|c_k|^2=\\=(c_k-a_k)(\overline{c_k}-\overline{a_k})-|c_k|^2=\\=|a_k|^2-\overline{a_k}c_k-a_k\overline{c_k}\end{array}</math>}} {{=|o=\ge |r=\Vert\mathbf u\Vert^2-\sum_{k=1}^n\vert c_k\vert^2 |c=המקרה המינימלי הוא כאשר <math>\forall k:\ a_k=c_k</math>}} |} מכאן ש־<math>\|\mathbf u-\mathbf v\|</math> מינימלי כאשר <math>\mathbf v=\tilde\mathbf u</math>. {{משל}} התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל: <math>\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|c_k|^2</math>. {{פס| ==== הכללה ==== בהינתן בסיס אורתוגונלי <math>S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> של <math>W</math> (שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־<math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k</math>. ===== הוכחה ===== <math>S</math> בסיס ולכן וקטור האפס אינו נמצא בו. לפיכך הקבוצה <math>\left\{\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|},\dots,\frac{\mathbf b_n}{\|\mathbf b_n\|}\right\}</math> מוגדרת ואורתונורמלית, ולבסוף {{left|<math>\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k=\sum_{k=1}^n\frac{\overline{\|\mathbf b_k\|}\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle}{\|\mathbf b_k\|^2}\|\mathbf b_k\|\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\sum_{k=1}^n\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\tilde\mathbf u</math>}} {{משל}} }}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)