לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== סעיף ב'=== כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math> . נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math> . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח: <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\to f(x_0)</math> '''טענה:''' נוכיח כי <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0)</math> . נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x</math> ולכן <math>\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)</math> . כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math> יהי <math>\epsilon>0</math> . כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon</math> . כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math> , לכן לכל t כזה: <math>|t-x_0|\le|\Delta x|<\delta</math> כך ש-<math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon</math> . מכאן ש- <math>\Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math> אבל <math>\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x|\epsilon</math> ולכן <math>\Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|<\frac{1}{|\Delta x|}\cdot\epsilon|\Delta x|=\epsilon</math> . ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math> , מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math> , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math> , מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> . <math>\blacksquare</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)