לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חישובי שגיאה
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==חישובי שגיאה של גדלים עקיפים== בסעיפים הקודמים דיברנו על השיטות להערכת שגיאה של גדלים הנמדדים ישירות באמצעות מכשירי המדידה. לדוגמה, אורך הנמדד בסרגל או זמן הנמדד באמצעות שעון הם גדלים הנמדדים ישירות. לעתים קרובות אנו מעוניינים לא רק בגדלים הנמדדים עצמם, אלה גם בגדלים עקיפים שהם פונקציות של הגדלים הנמדדים ישירות. לדוגמא: אנו מודדים זווית בעזרת מד-זווית, אולם לצורך חישובים כלשהם אנו מעוניינים בסינוס של הזווית ולא בזווית עצמה. אנו מעוניינים למדוד שטח של מלבן, לשם כך אנו מודדים בסרגל את אורכו ורוחבו, ומכפילים אותם זה בזה. כאן, השטח הוא פונקציה (מכפלה) של האורך והרוחב. מכיוון שהגודל העקיף הוא פונקציה של הגדלים הנמדדים ישירות, ברור ששגיאה במדידת הגדלים הישירים תגרום לשגיאה בהערכת הגודל העקיף. בניסוח מתמטי , אנו מעוניינים לענות על השאלה: אם <math>f</math> הוא פונקציה מסוימת של גדלים שונים <math>x,y,z...</math> ושגיאותיהם של הגדלים האלו הן <math>\Delta x,\Delta y,\Delta z...</math> , מהי השגיאה <math>\Delta f</math> ? נניח שידועות לנו צורת הפונקציה <math> f(x,y,z...)</math>, תוצאות המדידה <math>x,y,z...</math> ושגיאותיהן <math>\Delta x,\Delta y,\Delta z...</math> . כדי לענות על שאלתנו עכשיו, ננסה לענות קודם על שאלה פשוטה יותר: נניח שרק <math>x</math> משתנה ב- <math>\Delta x</math>, וכל שאר הגדלים <math>y,z...</math> נשארים קבועים, מהו השינוי ב- <math>f</math> הנגרם רק על-ידי השינוי ב- <math>x</math> ? (נסמן שינוי זה של <math>f</math> ב- <math>\Delta_x f</math>). כיוון שהגדלים <math>x,y,z...</math> אינם משתנים, אפשר להתייחס ל- <math>f</math> כאילו היא פונקציה של <math>x</math> , ולגזור אותה: נגזרת כזו, המתקבלת כתוצאה מגזירת פונקציה רבת-משתנים ביחס למשתנה אחד בלבד, כאשר מתייחס לכל שאר המשתנים כאילו היו קבועים, נקראת בשם נגזרת חלקית ומסומנת כך: <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> . כלומר השינוי בפונקציה <math>f</math> כתוצאה משגיאה של <math>\Delta x</math> במשתנה <math>x</math>, תהיה: <math>\Delta_x f=\left| \frac{\partial f }{\partial x}\right| \Delta x</math> ובאופן דומה: <math>\Delta_y f=\left| \frac{\partial f }{\partial y}\right| \Delta y</math> , <math>\Delta_z f=\left| \frac{\partial f }{\partial z}\right| \Delta z</math> וכו'. לאחר שחישבנו את גודלם של השינויים ...<math>\Delta_y f</math> ,<math>\Delta_x f</math> (נכנה שינוים אלו בשם '''השגיאות החלקיות'''), נחזור לשאלה המקורית: מהו השינוי <math>\Delta f</math> הנגרם בגלל השינויים בכל הגדלים <math>x,y,z...</math>? אנו מניחים שהשגיאות החלקיות קטנות, ולכן אפשר להתעלם מהשפעתו של השינוי של אחד מהגדלים האלו על גודלן של השגיאות על גודלן של השגיאות החלקיות הנגרמות בגלל שאר הגדלים. לכן, השינוי של כל אחד מהגדלים <math>x,y,z...</math> יסיט את ערכה של הפונקציה <math>f</math> כלפי מעלה או מטה בכמות השווה לגודלה של השגיאה החלקית המתאימה שחישבנו. במקרה הגרוע ביותר, שבו כל השגיאות החלקיות מסיטות את <math>f</math> לאותו כיוון, יהיה גודל השינוי של <math>f</math> שווה לסכום כל השגיאות החלקיות, כלומר: <math>\Delta f= \Delta_x f+ \Delta_y f+...=\left| \frac{\partial f }{\partial x}\right| \Delta x+\left| \frac{\partial f }{\partial y}\right| \Delta y+...</math> אולם הערכה זו היא פסימית מדי. ראשית, הערכות השגיאה שלנו הן מקסימליות, וברוב המקרים תהיה השגיאה האמיתית במדידת <math>x</math> קטנה מהערכה <math>\Delta x</math> . הסיכוי לכך שכל השגיאות יקבלו בבת-אחת את ערכן המקסימלי הוא קטן. שנית, מכיוון שאנו עוסקים בשגיאות אקראיות, חלק מהשגיאות של הגדלים הנמדדים ישירות יגדילו את ערכו של <math>f</math> ואחרות יקטינו אותו. לכן, הערכת השגיאה הכללית כסכום השגיאות היא מוגזמת. הערך הסביר יותר של <math>\Delta f</math> הוא שורש סכום הריבועים של השגיאות החלקיות, כלומר: <math>\Delta f= \sqrt {(\frac{\partial f }{\partial x} \Delta x)^2+(\frac{\partial f }{\partial y} \Delta y)^2+...}</math> (ויתרנו על הערך המוחלט משום שהעלאה בריבוע מבטלת את הסימן). במעבדה נשתמש בנוסחה זו.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)