לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== מקרה 1 === נניח ש־<math>\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math>. נסמן <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> ולכן <math>\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=a_1p+b_1q+{\color{Blue}(a_1\alpha+b_1\beta+c_1)}\\ax+by+c=ap+bq+{\color{Blue}(a\alpha+b\beta+c)}\end{cases}</math>. נדרוש שהמקדמים החופשיים (בכחול) יהיו 0 בשני המקרים, כלומר <math>\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}c_1\\c\end{pmatrix}</math>. נקבל <math>\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y'=f\left(\frac{a_1+b_1\frac qp}{a+b\frac qp}\right)</math>, וזו מד״ר מהצורה <math>q'=f\left(\frac qp\right)</math>, שאותה אנו יודעים לפתור. ==== דוגמה ==== נפתור <math>y'=\frac{2x+3y+4}{x+y+2}</math>. נציב <math>x,y</math> כנ״ל ולפיכך <math>\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{2p+3q+2\alpha+3\beta+4}{p+q+\alpha+\beta+2}</math>. עלינו לדרוש ש־<math>2\alpha+3\beta=-4\ \and\ \alpha+\beta=-2</math> ומכאן ש־<math>\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{2p+3q}{p+q}=\frac{2+3\frac qp}{1+\frac qp}</math> וגם <math>y=q\ \and\ x=p-2</math>. נסמן <math>z=\frac pq</math> ואז{{left|<math>\begin{align}&\frac{2+3z}{1+z}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{\mathrm d(pz)}{\mathrm dp}=p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}+z\\\implies&\frac{2+2z-z^2}{1+z}=p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}\\\implies&\frac{1+z}{2+2z-z^2}\mathrm dz=\frac{\mathrm dp}p\\\implies&\int\frac{2-(1-z)}{2+2z-z^2}\mathrm dz=\int\frac{\mathrm dp}p\\\implies&\int\frac2{3-(1-z)^2}\mathrm dz-\frac12\ln|2+2z-z^2|=\ln|p|+c\\\implies&\frac2\sqrt3\mbox{arctanh}\left(\frac{1-z}\sqrt3\right)-\frac12\ln|2+2z-z^2|=\ln|p|+c\end{align}</math>}} עתה מציבים <math>z=\frac y{x+2}, p=x+2</math> ומקבלים את הפתרון בצורה של פונקציה סתומה. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)