לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== חידות עם שאלות === ''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>. :'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>. בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>. יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}} ==== מערכת עובדות לינאריות ==== במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל. :'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון {{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}} :השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל {{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}} נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות. כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}} :'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 4 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>. ==== המספר המינימלי של שאלות ==== נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)