לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===דוגמאות=== בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון. # <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}(x-5)^n</math>. אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות: {{left|<math>\begin{align}R&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)^n(n+1)}{n^n}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^n\\&=e\end{align}</math>}} {{משל}} # <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}(x-5)^{2n}</math>. ''דרך ראשונה:'' נעשה זאת לפי מבחן המנה: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+3}/n^3}{2^{n+4}/(n+1)^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^3\cdot\frac12=\frac12</math>, אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{2n}|}{|a_{2n+2}|}</math> במקום <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math>. עם זאת, נשים לב שאם נציב <math>y=(x-5)^2</math> אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}y^n</math>. מכאן שהטור מתכנס כאשר <math>|x-5|^2=|y-0|<\frac12</math>, כלומר כאשר <math>|x-5|<\sqrt\frac12</math>, ולכן הוא <math>R=\sqrt\frac12</math>. {{משל}} ''דרך שנייה:'' נחשב בעזרת מבחן השורש: <math>R=1/\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}</math>. גם כאן יש מכשול כי <math>a_{2n}=\frac{2^{n+3}}{n^3}</math> ואילו <math>a_{2n+1}=0</math>. לגבי האינדקסים האי-זוגיים <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{a_{2n+1}}=0</math> ולגבי הזוגיים <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{a_{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[2n]{2^{n+3}}}{\sqrt[2n]{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac12+\frac3{2n}}}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{3/2}}=\frac{2^\frac12}1=\sqrt2</math>. לכן <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\sqrt2</math> ולפיכך <math>R=\frac1\sqrt2=\sqrt\frac12</math>. {{משל}} # <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nn!x^n</math>. לפי מבחן המנה: <math>R=\lim_{n\to\infty}\frac{|n!|}{|(n+1)!|}=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0</math>. {{משל}} מכאן שהטור מתכנס רק עבור <math>x=0</math>. # דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה <math>\infty</math> פעמים בסביבת <math>x_0</math>. לכל <math>N\in\mathbb N</math> ניתן לכתוב <math>f(x)=P_N(x)+R_N(x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=P_N(x)=f(x)-R_N(x)</math>. אם עבור x מסויים <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math> אזי <math>f(x)=\lim_{N\to\infty}f(x)-R_N(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math>, וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב <math>x_0</math>". עבור <math>x_0=0</math> הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה: <math>e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>, שרדיוס ההתכנסות שלו הוא <math>\infty</math>: <math>R=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=\infty</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)