לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==משפט 2== תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=g(x)-h(x)</math>. ===הקדמה להוכחה=== לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים: תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q\ p</math> ו-<math>N=\sup_Q\ n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q\ t</math>. נעיר שלכל Q מתקיים <math>t=p+n\le P+N</math> ולפיכך <math>T\le P+N</math>. לבסוף, נשים לב ש-<math>P,N\le T</math> (כי <math>n,p\ge0</math> ולכן <math>\sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n)</math>). ====למה==== בסימונים הנ"ל: # <math>f(b)-f(a)=P-N</math> # <math>T=P+N</math> =====הוכחת הלמה===== # מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T<\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}} # מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}} ===הוכחה=== לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\sup_Q\ p</math> וכל Q היא חלוקה של הקטע <math>[a,x]</math>. באופן דומה נגדיר <math>h(x)=\overset x\underset aN f</math>. לפי סעיף 1 של הלמה, <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)</math> ולכן <math>f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))</math>. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן <math>g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-<math>(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0</math> ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם <math>h-f(a)</math> מונוטונית עולה). {{משל}} ===מסקנה 1=== תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>. ====הוכחה==== נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. {{משל}} ===מסקנה 2=== תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. ====הוכחה==== תהנה g,h מונוטוניות כך ש-<math>f=g-h</math>. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)