לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - תרגול/13.3.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==אינטגרלים של פונקציות רציונליות== נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה <math>\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. למשל, האינטגרלים <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math> ו-<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}</math>. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-<math>\mathbb R</math>, בעוד שהשני כן פריק. ===דוגמה 1=== נפתור <math>\int=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx</math>. ====פתרון==== באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>). ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>: {| {{=|l=\int |r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx }} {{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4x+8} }} {{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+2\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} |c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>): }} {{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c }} |} {{משל}} ---- לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>. ===דוגמה 2=== נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>. ====פתרון==== קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-<math>(x-2)(x+2)</math>. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים <math>A=\frac14,\ B=-\frac14</math>. לכן האינטגרל הוא <math>\frac14\int\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\right)\mathrm dx=\frac14(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+c</math>. {{משל}} ===דוגמה 3=== נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>. ====פתרון==== <math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-2x(x-2)-2(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx\\&=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}\\&=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c\end{align}</math>}}{{משל}} ===דוגמה 4=== נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>. ====פתרון==== אפשר לראות שהמכנה שווה ל-<math>x^2(3x-1)+(3x-1)=(3x-1)(x^2+1)</math>. ברור כי עבור <math>3x-1</math> יש שורש <math>\frac13</math>, בעוד של-<math>x^2+1</math> אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B,C עבורם האינטגרנד הוא <math>\frac A{3x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}</math>. נקבל <math>A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\\&=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c\end{align}</math>}}{{משל}} ---- '''כלל:''' כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים. ===דוגמה 5=== <math>\int\frac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}\mathrm dx</math> ====פתרון==== נחלק: {{left| <math>\begin{align}&x\\&\overline{x^4-x^3-x-1\ |}\ x^3-x^2=x(x^3-x^2)-\frac{x+1}{x^3-x^2}\\-\\&\underline{x^4-x^3}\\&\ \ \ \ 0\ \ \ \ -x-1\end{align}</math> }} ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx\\&=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx\\&=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}\\&=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c\end{align}</math>}} {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)