לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 9 מדמח קיץ תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל=== יהיו A,B קבוצות כך ש <math>|B|>1</math>. הוכח כי <math>|A|<|B^A|</math>. '''פתרון.''' נבחר 2 איברים שונים <math>b_0,b_1\in B</math> ונגדיר פונקציה חח"ע <math>g:A\to B^A</math> ע"י <math>g(a)=f_a</math> כאשר <math>f_a(a)=b_1</math> ו <math>\forall a'\not=a :f_a(a')=b_0</math> ולכן <math>|A|\leq|B^A|</math>. נניח בשלילה שקיים שיוויון אזי קיימת התאמה חח"ע ועל <math>g:A\to B^A</math>. נסמן <math>\forall a\in A:g(a)=h_a</math>. נראה באופן דומה לתירגול קודם כי g איננה על ע"י שנמצא פונקציה h שאין לה מקור: נבחר 2 איברים שונים <math>b_0,b_1\in B</math>ונגדיר פונקציה באופן הבא <math>h:A\rightarrow B</math> ע"י <math>h(a)=b_0</math> אם <math>h_a(a)=b_1</math>. ו- <math>h(a)=b_1</math> אחרת. לפי הבנייה <math>\forall a\in A h\neq h_a</math> כיוון ש <math>h(a)\neq h_a(a)</math>. סתירה לכך ש <math>g</math> על. הערה: התרגיל הזה הוא מסקנה מהתרגילים הקודמים כי <math>|\{0,1\}|\leq |B|</math> ולכן <math>|A|<|\{0,1\}^A|\leq |B^A|</math> '''הגדרה:''' יהיו שתי קבוצות '''זרות''' A,B כך ש <math>|A|=a, |B|=b</math>. אזי נגדיר פעולות בין עוצמות: *<math>a+b:=|A\cup B|</math> *<math>a\cdot b := |A\times B|</math> *<math>a^b := |\{f:B\rightarrow A\}|</math> דוגמא: ראינו בתירגול קודם את הזיהוי <math>[0,1)=\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\}</math> לכן <math>\aleph=|\mathbb{R}|=|[0,1)|=|\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\}|=10^{\aleph_0}</math> הערות: *ההגדרות לעיל מוגדרות היטב, כלומר העוצמה נשארת זהה ללא תלות בבחירת הקבוצות המייצגות. * בידקו שעבור המקרה הסופי מתקיים מה שמצופה. למשל <math>2+1=|\{1,2\}\cup\{3\}|=3</math> *'''שימו לב:''' מתוך הגדרה זו קל לראות את חוקי החזקות למקרי הקצה: **<math>a^0=1</math> שכן יש פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל מקום - היחס שהוא הקבוצה הריקה. **<math>0^0=1</math> זה מקרה פרטי של הסעיף הקודם, ועדיין מתקיים **<math>1^a=1</math> **<math>a\neq 0 \rightarrow 0^a=0</math> אין אף פונקציה מקבוצה לא ריקה אל קבוצה ריקה, שכן יחס כזה לא יכול להיות שלם.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)